界面問題的浸入界面有限元方法的一些進(jìn)展.pdf

1、界面問題在流體力學(xué)、電磁學(xué)和材料科學(xué)中經(jīng)常遇到.四十多年來，界面問題的研究越來越受到關(guān)注，大量的文獻(xiàn)涌現(xiàn).目前為止，依據(jù)離散單元和界面的關(guān)系，界面問題的有限元研究主要分為帖體網(wǎng)格的有限元方法和非貼體網(wǎng)格的有限元方法.在本文中，我們考慮使用非匹配網(wǎng)格的浸入界面方法來求解這些界面問題.
　　第一章，我們簡單回顧了界面問題.首先，我們給出橢圓界面問題及其應(yīng)用，給出了使用匹配網(wǎng)格的方法的精度的結(jié)果.然后，我們介紹了幾種求解界面問題的經(jīng)典的

2、使用非匹配網(wǎng)格的方法.最后，我們簡單介紹了Sobolev空間.
　　第二章，我們研究了提高橢圓界面問題的精度的新方法.不僅是提高解的精度，也提高界面點處通量的精度.對于一維界面問題，我們利用其弱形式得到界面點處通量的二階精度;對于二維界面問題，思路類似混合有限元方法，通過在界面附近引入一個管和一個未知變量，因此這個方法比標(biāo)準(zhǔn)的有限元計算成本要略高一點.我們給出了一維界面問題的嚴(yán)格的理論分析，證明了解和通量在界面處具有二階收斂性.二

3、維的數(shù)值實驗表明解的二階收斂性和界面處梯度的超收斂性質(zhì).
　　第三章，我們提出新的在三角笛卡爾網(wǎng)格上的非協(xié)調(diào)浸入界面有限元方法求解平面彈性界面問題.該浸入界面有限元方法無論對可壓和近不可問題都具有最優(yōu)逼近性質(zhì).新方法的優(yōu)點在于它的自由度比其他方法的少，并且對于界面的形狀和位置是穩(wěn)定的.理論上，我們證明了浸入界面基函數(shù)的唯一可解性和相容性.數(shù)值實驗表明該數(shù)值方法對不同的界面形狀和拉梅參數(shù)在L2范數(shù)，H1半范數(shù)上具有最優(yōu)逼近性.

4、>　　第四章，基于非匹配的網(wǎng)格，我們給出了求解帶有不連續(xù)系數(shù)的四階微分方程的新有限元方法.對于非界面單元，我們使用標(biāo)準(zhǔn)的Morley元基函數(shù);對于界面單元，我們依據(jù)界面位置和跳躍條件，構(gòu)造了分片的的Morley元的基函數(shù).理論上，我們研究了所構(gòu)造的Morley浸入界面元方法的性質(zhì).數(shù)值實驗表明所提出方法在L2范數(shù)，H1半范數(shù)和H2半范數(shù)下的最優(yōu)收斂性.
　　第五章，我們研究了快速的有限差分算法求解帶不連續(xù)系數(shù)的四階微分方程.基于增