求解界面問題的擴展雜交間斷有限元方法研究.pdf

1、本學位論文提出并分析了一種求解界面問題的一致網格方法。首先，本文以泊松界面問題為例給出了該算法的基本思想。通過在界面附近構造一個新的分片多項式函數(shù)，得到一個界面與網格的邊界一致的擴展界面問題。然后，采用雜交間斷伽略金有限元方法(HDG)來求解該擴展問題，通過合理地選擇數(shù)值通量，解在單元邊界上的跳躍被自然地引入到了數(shù)值格式當中。與現(xiàn)有的方法相比，該方法構造的分片多項式函數(shù)是通過一個巧妙的二次Hermite多項式插值，外加一個標準的拉格朗日

2、多項式插值的后處理得到。上述顯式構造的多項式能夠準確地捕捉到界面上的跳躍信息，而且存在唯一，并以3階精度逼近原問題精確解的間斷部分，更重要的是它與界面的形狀及位置無關。另外，它使得擴展界面問題的解具有較高的正則性，從而保證了我們得以用HDG方法高精度求解。最后證明了該方法在L2范數(shù)意義下，其精確解及梯度均具有二階收斂精度。文中涉及各種復雜界面橢圓問題的數(shù)值例子也驗證了該算法的穩(wěn)定性及收斂性。
　　基于求解泊松界面問題的成功經驗，本

3、文隨后研究了拋物界面問題，并重點考慮了移動界面情形。由于界面的位置和形狀隨著時間不斷變化，因此需要在每一個時刻構造逼近解的間斷部分的高精度分片多項式，在此基礎上，它將原問題轉化成界面與網格的邊界重合的擴展界面問題。之后，利用HDG方法對擴展界面問題進行空間離散。通過合理設計數(shù)值通量，解在單元邊界上的跳躍被自然地引入到了數(shù)值格式當中，從而保證了離散格式的二階收斂精度。在時間方向，本文采用經典的向后歐拉格式進行離散，以保證全離散格式的數(shù)值穩(wěn)

4、定性。值得指出的是，每一時刻構造解的間斷部分的分片多項式逼近的方法是不變的，只是界面的位置以及界面上的跳躍條件發(fā)生了變化，而這種變化只會對每一步要求解的線性方程組的右端產生影響，并不會改變線性方程組的系數(shù)矩陣。因此，在計算時只需要在第一個時間步完成對線性方程組系數(shù)矩陣的計算和組裝，在后面所有時間步，只需要反復使用已經組裝好的系數(shù)矩陣，從而大幅度提高了算法的計算效率。大量數(shù)值實驗表明，在笛卡爾網格下，隨著界面的移動，該方法不僅穩(wěn)定，而且能

5、夠保證解及其梯度在L2范數(shù)意義下具有二階收斂精度。
　　在對泊松界面問題的研究中，出于理論分析的考慮，只討論了帶有形如[▽u·n]仿射跳躍條件的界面問題。為了處理更一般的帶間斷系數(shù)的界面問題，本文引進一種迭代技巧。通過該迭代技巧，一般的帶有間斷系數(shù)的界面問題的解，可以被一系列帶有簡單仿射跳躍條件的界面問題的解逼近，并且只要選取適當?shù)氖諗恳蜃蛹纯杀ＷC這種迭代法的收斂性。因此我們只需對這一系列逼近問題采用本文所提出的數(shù)值方法就可以實現(xiàn)