具公共值的亞純函數(shù)的惟一性理論及應(yīng)用.pdf

1、函數(shù)的惟一性理論主要是探討在何種情況下只存在一個(gè)函數(shù)滿足給定的條件.我們知道確定一個(gè)超越亞純函數(shù)與多項(xiàng)式的條件是完全不同的.因此，亞純函數(shù)惟一性問(wèn)題的研究就顯得特別復(fù)雜、重要和有趣，涉及亞純函數(shù)惟一性的理論研究起源于芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna所創(chuàng)立的值分布理論，它奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)惟一性理論的基礎(chǔ)，而且對(duì)數(shù)學(xué)許多分支的發(fā)展、交叉和融合產(chǎn)生了重大而深遠(yuǎn)的影響.亞純函數(shù)惟一性理論是近幾十年來(lái)在國(guó)際上比較活躍的課題，隨著研究的不斷深入

2、和發(fā)展，它被賦予了更加豐富的研究?jī)?nèi)涵.在Nevanlinna本人的得到的5IM公共值理論與4 CM公共值理論的基礎(chǔ)上，我國(guó)數(shù)學(xué)家熊慶來(lái)和楊樂(lè)等在這一方面取得了許多深刻的結(jié)論.國(guó)外的數(shù)學(xué)家如F.Gross、W.Hayman等也在該領(lǐng)域做出了許多非常出色的研究成果. 近二十多年來(lái)，儀洪勛教授等主要致力于這方面的研究，1994年，他完全解決了F.Gross提出的一個(gè)困惑人們多年的著名問(wèn)題，并在亞純函數(shù)惟一性理論方面取得了一系列具有創(chuàng)造

3、性的成果，有力地推動(dòng)了亞純函數(shù)惟一性理論研究的開(kāi)展. 本文主要是作者在導(dǎo)師呂巍然教授的精心指導(dǎo)下，所完成的部分研究工作.全文共分四章. 第一章，簡(jiǎn)要介紹了與本文有關(guān)的亞純函數(shù)值分布理論中的一些主要概念，基本結(jié)果和常用記號(hào). 第二章，研究了一類非齊次線性復(fù)微分方程解的增長(zhǎng)性，證明了下列結(jié)果. 定理A微分方程f"+e-Zf'+p1（z）e-Zf= P2（Z）的任意非零解f（z）都滿足ρ（f）=∞，其中p1（z

4、）為級(jí)小于1/2的超越整函數(shù)，P2（z）為級(jí)小于1的整函數(shù). 第三章，討論了一類微分多項(xiàng)式分擔(dān)公共值的亞純函數(shù)惟一性理論，改進(jìn)了S.S.Bhoosnurmath、R.Dyavanal與張曉宇，林偉川等人得到的結(jié)論，證明了下列定理. 定理B假設(shè)f（z），g（z）為兩個(gè)超越亞純函數(shù)，n，k，m為正整數(shù)，滿足不等式n>9k+6m*+13.如果[fn（z）（μfm（z）+λ）]（k）和[gn（z）（μgm（z）+λ）（k）分擔(dān)1

5、IM，其中λ和μ為常數(shù)，且｜λ｜+｜μ｜≠0，并且f，g分擔(dān)∞IM，則 （1）若λμ≠0，則當(dāng)m>1且（n，n+m）=1時(shí)，有f≡g：當(dāng)m=1且Θ（∞，f）2/n時(shí)，有f≡g. （2）若λμ=0，則有f=tg，其中t為常數(shù)，滿足tn+m*=1，或f=c1ecz，g= c2e-cz，其中c1，c2和c為常數(shù)，且滿足 （-1）kλ2（c1c2）n+m*[（n+m*）c]2k=1或（-1）kμ2（c1c2）n+m*[（

6、n+m*）c]2k=1. 定理C假設(shè)f（z），g（z）為兩個(gè)超越亞純函數(shù)，n，k，m為正整數(shù)，且滿足不等式n>9k+4m+15.若[fn（z）（f（z）-1）m]（k）和[gn（z）（g（z）-1）m]（k）分擔(dān)1IM，且f，g分擔(dān)∞IM，則有f≡g或f，g滿足方程R（f，g）≡0，其中R（ω1，ω2）=ω1n（ω1-1）m-ω2n（ω2-1）m. 第四章中，研究了一類亞純函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分擔(dān)一個(gè)公共值的惟一性問(wèn)題，改進(jìn)了已

7、知的結(jié)果，得到了幾個(gè)結(jié)論， 定理D設(shè)F（z），G（z）為兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，若F（k）和G（k）分擔(dān)1CM，且 （k+4）Θ（∞，F(xiàn)）+2Θ（0，F(xiàn)）+2δk+1（0，F(xiàn)）>k+7， （k+4）Θ（∞，G）+2Θ（0，G）+2δk+1（0，G）>k+7，則F（k）G（k）≡1或者F≡G。 定理E設(shè)F（z），G（z）為兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，如果F（k）和G（k）分擔(dān)1IM，且