具有公共值的亞純函數(shù)及其相關(guān)問題.pdf

1、亞純函數(shù)理論起源于芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna所創(chuàng)立的值分布理論.Nevanlinna理論的創(chuàng)立不僅奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎(chǔ),而且對(duì)數(shù)學(xué)的許多分支的發(fā)展,交叉和融合也產(chǎn)生了重大而深遠(yuǎn)的影響.特別是它在復(fù)微分方程理論的研究中,提供了十分重要的研究工具.1929年,R.Nevanlinna研究了確定一個(gè)亞純函數(shù)所需的條件,得到兩個(gè)著名的亞純函數(shù)惟一性定理,它們通常被稱為Nevanlinna四值定理和Nevanlinna五值定理.從

2、此,亞純函數(shù)惟一性理論,特別地為亞純函數(shù)公共值問題的研究拉開了序幕.
　　 本文以值分布理論為主要工具,研究了具有公共值的亞純函數(shù)及相關(guān)問題,全文共分五章.
　　 第一章,簡(jiǎn)要介紹了有關(guān)亞純函數(shù)值分布理論的一些主要概念、基本結(jié)果和常用符號(hào).
　　 第二章,討論了一類微分方程的超越整解及不動(dòng)點(diǎn),進(jìn)而推得到有關(guān)定理.
　　 定理2.1設(shè)f是一個(gè)整函數(shù),n(≥2)是一個(gè)正整數(shù),α是一個(gè)整函數(shù),那么方程F'z=e

3、α(F-z)有超越整函數(shù)解f,且f的形式:f=z/cen,
　　 其中c是非零常數(shù).
　　 很明顯,根據(jù)定理2.1,我們可以得到下面的結(jié)果:
　　 推論2.1設(shè)fr是一個(gè)整函數(shù),n(≥2)是一個(gè)正整數(shù),如果fn和(fn)'共享z(計(jì)重?cái)?shù)),那么定理2.1的結(jié)論仍然成立.
　　 定理2.2設(shè)f是一個(gè)超越整函數(shù),n,k是正整數(shù),且n≥k+2,如果fn和(fn)(k)共享z(不計(jì)重?cái)?shù)),那么f=cewz/n,其

4、中c,w是非零常數(shù),且滿足wk=1.
　　 第三章,討論了一類復(fù)微分方程的增長(zhǎng)性.
　　 第四章,討論了涉及不動(dòng)點(diǎn)和亞純函數(shù)惟一性理論問題,得到相關(guān)定理.
　　 定理4.1設(shè)f,g是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),n,k是正整數(shù)且n＞3k+10.如果(fn)(k)和(gn)(k)共享P(z)(計(jì)重?cái)?shù)),其中P(z)是m次多項(xiàng)式,f和g共享∞(不計(jì)重?cái)?shù)).則f(z)=c1ecq(z),g(z)=c2e-cq(z),其中q(z)

5、=∫z0P(ξ)dξ,c1,c2和c三個(gè)常數(shù)滿足(m+1)n2(c1c2)nc2=-1,或者f≡tg,常數(shù)t滿足tn=1.
　　 第五章,涉及到亞純函數(shù)或整函數(shù)及其微分多項(xiàng)式的唯一性問題,進(jìn)而得到有關(guān)定理.
　　 定理5.1設(shè)n和m是兩個(gè)正整數(shù),l=min{2,m},設(shè)f和g是兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),且(⊙)(∞,f)＞2/n+1.如果滿足Ek(Sm,fn(f-1)f')=Ek(Sm,gn(g-1)g')
　　 且