二元樣條函數(shù)方法求數(shù)據(jù)插值擬合問題.pdf

1、樣條函數(shù)被認為是在數(shù)值逼近,計算機輔助設計,圖像分析和數(shù)值分析等方面的一種高效率的工具。隨著計算機的高速發(fā)展,樣條函數(shù)以其便于計算機存儲、計算穩(wěn)定、局部支集以及便于交互控制等優(yōu)點,成為各類工程計算、計算機輔助制造/設計和幾何建模等大型軟件的重要數(shù)學工具之一。 早在60年代一元樣條的理論就開始了快速的發(fā)展,許多論文和書籍都紛紛發(fā)表,這種發(fā)展一直持續(xù)到80年代并到達了頂峰?，F(xiàn)在我們所熟悉的理論都是在那個時候建立的([10]和[31]

2、)。一元樣條現(xiàn)在已經(jīng)成為各種應用領(lǐng)域重要的工具,并且是現(xiàn)在數(shù)值分析中重要的一個方向。如果說60到80年代是一元樣條的時代的話,現(xiàn)在就是多元樣條的時代。早在80年代,就有一些關(guān)于二元、三元分片多項式作為有限元的結(jié)果,但那時人們并沒有重視多元的樣條?，F(xiàn)在關(guān)于多元樣條的論文多的舉不勝舉。 本論文主要討論的是多元樣條(特別是二元樣條)函數(shù)方法在數(shù)據(jù)插值擬合中的應用。這里我們所說的多元樣條是指由定義在一些三角剖分上的分片多項式的集合,而這

3、些分片多項式之間滿足一定的連續(xù)條件,從而整體上達到一定的光滑性。多元樣條和一元樣條一樣也具有許多優(yōu)秀的性質(zhì),這些性質(zhì)使它成為非常重要的工具。比如多元樣條在計算函數(shù)值和導數(shù)值的時候具有高效、穩(wěn)定的算法等。 本論文分為四章。第一章首先介紹樣條函數(shù)的B-形式,接著推出在B-形式下的一些基本算法。比如de Casteljau求值算法,求導、求積以及求內(nèi)積算法等。這些算法在構(gòu)造矩陣方程時起到了重要的作用。然后介紹了分片多項式的拼接條件以及

4、如何建立整個樣條空間,并簡單的分析了一下常用的各種三角剖分。最后介紹了一個用于矩陣計算的迭代算法。 第二章主要討論了散亂數(shù)據(jù)Hermite插值問題。我們首先從如何構(gòu)造滿足條件的樣條函數(shù)說起,從文章[26]和[29]中得到啟發(fā),提出了新的能量函數(shù),來滿足數(shù)據(jù)Hermite插值的要求。并討論了它的存在性和唯一性,以及它的逼近結(jié)果。從結(jié)果上來看,如果散亂數(shù)據(jù)來自一個光滑的函數(shù),那么我們做出的樣條函數(shù)能夠充分的逼近于它。最后我們構(gòu)造了一

5、些數(shù)值例子來說明它的逼近結(jié)果,同時也采集了中國大陸的各個地方的風速大小作為數(shù)據(jù)進行插值實驗,并構(gòu)造了中國大陸的風速勢力場。最后兩章主要討論了散亂數(shù)據(jù)擬合的問題。當散亂數(shù)據(jù)充分多或者相對較少的時候,顯然用插值方法已經(jīng)不合適了,我們只能用擬合的方法。其中第三章我們采用的是擴展罰函數(shù)方法來解散亂數(shù)據(jù)相對較少的擬合問題,特別是我們對曲面的擾度有特別要求的時候。相比于普通的罰函數(shù)方法[44],我們提出的擴展罰函數(shù)法可以處理帶導數(shù)信息的數(shù)據(jù)。因此可