退化橢圓方程很弱解的正則性及唯一性問題.pdf

1、A-調(diào)和方程是p-調(diào)和方程(p>1)的直接推廣，它與擬正則映射和擬共形映射以及彈性理論有著密切的聯(lián)系；最近幾年，它的幾何和分析性質(zhì)得到廣泛的研究。本文主要研究有關(guān)的更廣泛類A-調(diào)和型方程很弱解的正則性和唯一性問題，得到幾類退化橢圓型方程很弱解的先驗估計和有關(guān)正則性性質(zhì)．本文共分如下四童： 第一章介紹了很弱解有關(guān)問題研究的簡短歷史、本文所涉及到的幾個問題選題背景及其相關(guān)的基本概念。 第二章主要討論了如下一類非齊次A-調(diào)和方

2、程很弱解的唯一性。 -diVA(x，▽u)=f(x)其中微分算子A(x，·)滿足如下三個條件(注：第三、四章的算子A(x，·)假設(shè)相同)： (H1)退化橢圓性(A(x，ξ<,1>)-A(x，ξ<,2>)，ξ<,1>-ξ<,2>)≥β(|ξ<,1>|+|ξ<,2>|)<'p-2>|ξ<,1>-ξ<,2>|<'2>； (H2)Lipschitz條件|A(x，ξ<,1>)-A(x，ξ<,2>)|≤σ|ξ<,1>-ξ<,

3、2>|(|ξ<,1>|+|ξ<,2>|)<'p-2>； (H3)齊次性條件A(x，λξ)=|λ|<'p-2>λA(x，ξ)．本問題將不采用如文獻[3]常用的調(diào)和分析方法，而是利用T.Iwaniec在研究擬正則映射時給出擾動向量場Hodge分解理論以及估計式，我們的結(jié)論是文獻[1]中問題結(jié)論推廣和精細化。 第三章是討論了如下一類退化橢圓型方程很弱解的正則性問題。 -divA(x，g+▽u)=f+divh給出了當p≥

4、2時，用擾動向量場的Hodge分解和逆Holder不等式理論建立很弱解的可積性提高，從而得到上述方程的很弱解是經(jīng)典Sobolev意義下弱解的結(jié)論；為進一步考慮解可去奇異集性問題作基礎(chǔ)。 第四章討論了如下一類散度型具有自然增長的非齊次項的A-調(diào)和型方程很弱解的具有精確指數(shù)的局部正則性。 -divA(x，▽u)=B(x，▽u)， x∈Ω，其中|B(x，ξ)|≤β<,2>|ξ|<'p-1>；該結(jié)論改進了文獻[8，9]中相應(yīng)問題