微分算子實參數(shù)平方可積解的個數(shù)與譜的定性分析.pdf

1、本文主要圍繞微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)與譜的定性分析之間的關(guān)系開展研究.
　　 我們注意到:由于自共軛算子的譜是實的,自共軛線性算子的譜分析與實參數(shù)解形成的零空間有相當緊密的聯(lián)系.同時由于微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)是由系數(shù)決定的,微分算子的本質(zhì)譜,以及虧指數(shù)也只與算子的系數(shù)有關(guān),這三者(虧指數(shù)、微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)、微分算子的本質(zhì)譜)之間應(yīng)該有密切的聯(lián)系.探討研究這三者之間的關(guān)系是一個十分重要的課題.基于這種考

2、慮,本文采用新的方法,即利用奇異微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)來定性地研究譜的分布.
　　 對于一端奇異的微分算子,著名數(shù)學家Weidmann1987年在他的專著[86]中提出了著名的猜想:對于任意的λ∈I()R,如果微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)“充分多”,區(qū)間I中沒有本質(zhì)譜.需要特別注意的是:1996年Remling在[62]中指出了,在n=2且d=1的情況下,即使對任意的λ∈I()R,r(λ)=d=1,I中也可以有本質(zhì)譜.

3、這個重要的結(jié)論說明,僅僅依靠微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)足夠多不足以保證本質(zhì)譜是空的.我們不禁要問,在什么情況下Weidmann猜想成立,即若對任意的λ∈I,有r(λ)=d,需要附加什么樣的條件來保證I中無本質(zhì)譜?
　　 針對上述問題,本文首先對一端奇異微分算子的自共軛域給出一個全新描述,分析了分離邊界條件與其它邊界條件的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上通過正則算子逼近,證明了如果對于任意的λ∈I,微分方程有d個平方可積解,那么對于任何一個

4、由微分算式生成的自共軛算子,它的連續(xù)譜與I的交集是空的.其次我們給出微分方程的解關(guān)于參數(shù)λ解析依賴的條件(A)(見定義3.1.2),并證明在該條件成立的條件下,I中無本質(zhì)譜,換句話說,在區(qū)間I中譜是離散的。這樣我們對Weidmann在[86]中的猜測給出了一個全面的回答,也就是說在一個區(qū)間上微分方程實參數(shù)解平方可積解的個數(shù)充分多時,加上解對參數(shù)λ解析依賴的條件,微分算子在該區(qū)間中的本質(zhì)譜是空的.
　　 接下來我們討論了兩端奇異微

5、分算子實參數(shù)平方可積解的個數(shù)與譜的分布之間的關(guān)系.本文用微分方程實參數(shù)解來給出兩端奇異的微分算子自共軛域的完全刻畫.首先我們給出最大算子域的一個新的分解,其關(guān)鍵點是把兩個奇異端點分離開來加以考慮,利用最大算子域中的分段函數(shù),把微分方程在兩個奇異端點的實參數(shù)平方可積解加以聯(lián)結(jié).這種分解使得最大算子域的結(jié)構(gòu)清晰,方法統(tǒng)一,即一端奇異(或兩端正則)的微分算子也可使用同樣的方法處理,僅僅是把正則點的虧指數(shù)看成n.通過最大算子域的這種新的刻畫,我

6、們運用微分方程的解給出了在奇異點的邊界條件和自共軛域的完全刻畫.
　　 進一步地,我們研究兩端奇異時微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)與微分算子譜的分布之間的關(guān)系.首先我們證明了對于兩端奇異的微分算子,微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)可以小于等于d,但是也可以大于d(這在一端奇異的情況下是不可能發(fā)生的).這一結(jié)論說明,在研究譜的定性分析時,兩端奇異的情形和一端奇異的情形有本質(zhì)的不同,兩端奇異的情況并不是一端奇異情形下的簡單推廣.在此基

7、礎(chǔ)上我們對于兩端奇異的情形運用直和算子的譜理論,十分簡明地解決了Weidmann在[86]中提出的開放問題,即證明了如果微分方程實參數(shù)平方可積解的個數(shù)r(λ)d,則λ是任意自共軛擴張的特征值,這意味著當微分方程實參數(shù)平方可積解的

8、個數(shù)“過于多”時,反而可能會有本質(zhì)譜.這一結(jié)論與一端奇異情形有著本質(zhì)的不同.
　　 微分算子自共軛域的標準型是研究微分算子邊界條件對微分算子特征值分布影響的基礎(chǔ),本文在最后一章分別給出一端奇異的四階微分算子在d=4(包括兩端正則以及兩端奇異的情況),d=3以及d=2時自共軛邊界條件的標準型.由于在四階的情形下,標準型的種類非常多,為看清自共軛邊界條件的基本特征,我們找到一種統(tǒng)一的辦法來得到各種具體的標準型,即我們給出了“基本標準