兩區(qū)間微分算子自伴域的實(shí)參數(shù)解刻畫及譜的離散性.pdf

1、本文主要圍繞兩區(qū)間上微分算子自伴域的刻畫及幾類微分算子譜的離散性展開研究.多年來帶轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問題一直受到很多數(shù)學(xué)、物理工作者的關(guān)注，而具有轉(zhuǎn)移條件的問題也可以理解成兩區(qū)間上問題的一種特殊情形，即兩個(gè)區(qū)間相鄰，重合端點(diǎn)處的左右邊界條件構(gòu)成了轉(zhuǎn)移條件.在這一思想的啟發(fā)下，1986年，Everitt-Zettl在Hilbert空間的直和框架下研究了兩區(qū)間上二階Sturm-Liouville問題的自伴實(shí)現(xiàn)理論。然而

2、兩個(gè)區(qū)間上的問題不能簡(jiǎn)單的看成是各自區(qū)間上算子的直和，更有趣的、也是更重要的問題是兩個(gè)區(qū)間之間存在某種程度上的關(guān)聯(lián).因此Everitt-Zettl在文[9]中研究了兩區(qū)間理論.由于自伴算子的譜是實(shí)的，用實(shí)參數(shù)解刻畫自伴域不僅易于找到顯式的解更重要的是會(huì)產(chǎn)生與譜相關(guān)的信息。
　　 本文在Hilbert空間的直和框架下，利用微分方程的實(shí)參數(shù)解首先給出一端正則一端奇異的兩區(qū)間上微分算子自伴域的完全刻畫.在直和空間中構(gòu)造自伴算子的一種簡(jiǎn)

3、單方式就是取每個(gè)空間中自伴算子的直和.如果這樣得到的自伴算子就是由兩區(qū)間上微分方程生成的所有自伴算子，那么我們就沒有必要建立“兩區(qū)間理論”.事實(shí)上，正如文[9]中所提到的，有許多自伴算子并不只是每個(gè)區(qū)間上自伴算子的直和，這些“新的”自伴算子涉及到在這兩個(gè)區(qū)間之間的相互作用.這些相互作用可能‘穿過’正則點(diǎn)，也可能‘穿過’奇異點(diǎn)。其中正則自伴相互作用包含解或其擬導(dǎo)數(shù)的跳躍，奇異自伴相互作用包含解的拉格朗日括號(hào)的跳躍。
　　 接著我們

4、又給出兩端奇異的兩區(qū)間上最小算子的所有自伴擴(kuò)張的一個(gè)顯式刻畫.這些擴(kuò)張產(chǎn)生的“新的”自伴算子不只是每個(gè)區(qū)間上自伴算子的直和也涉及到兩個(gè)區(qū)間之間的相互作用.這樣的相互作用是奇異端點(diǎn)之間的相互作用，在內(nèi)部奇異點(diǎn)處這些相互作用包含了解的拉格朗日括號(hào)的不連續(xù)跳躍.該結(jié)果同樣適用于一個(gè)端點(diǎn)是正則的或多個(gè)端點(diǎn)是正則的情形。
　　 進(jìn)一步地，在一個(gè)新的帶有適當(dāng)乘數(shù)參數(shù)的Hilbert空間框架下，我們研究了兩個(gè)偶數(shù)階實(shí)系數(shù)微分方程的所有兩區(qū)間自

5、伴實(shí)現(xiàn)理論，給出了一端正則一端奇異的兩區(qū)間最小算子的所有自伴擴(kuò)張的描述，這些參數(shù)與邊界條件相互作用產(chǎn)生的偶數(shù)階自伴性問題使得與其關(guān)聯(lián)的實(shí)耦合系數(shù)矩陣K更具一般性。
　　 在這個(gè)新的帶有適當(dāng)乘數(shù)參數(shù)的Hilbert空間框架下我們又研究了區(qū)間端點(diǎn)都是奇異的情形，給出了兩端奇異的兩區(qū)間上偶數(shù)階實(shí)系數(shù)微分方程的所有兩區(qū)間自伴實(shí)現(xiàn)的描述，得到的自伴邊界條件使得與其關(guān)聯(lián)的實(shí)耦合系數(shù)矩陣K更具一般性.該結(jié)果同樣適用于一個(gè)端點(diǎn)是正則的或多個(gè)端點(diǎn)

6、是正則的情形。
　　 文章還研究了一類四階正則Sturm-Liouville問題的特征值對(duì)問題的依賴性.我們得到特征值不僅連續(xù)而且光滑依賴于該問題，同時(shí)我們還證明了特征值是所有參數(shù)(區(qū)間端點(diǎn)、邊界條件、方程系數(shù)和權(quán)函數(shù))的可微函數(shù)，并且給出了特征值關(guān)于給定參數(shù)的微分表達(dá)式.特征值與特征函數(shù)對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性除了其理論的重要性，對(duì)數(shù)值計(jì)算而言也是十分重要的。
　　 最后我們研究了幾類微分算子譜的離散性，首先研究了一類偶數(shù)階

7、自伴微分算子的譜，當(dāng)微分算子的系數(shù)ak(x)由ex的乘方所控制，該微分算子與具有指數(shù)系數(shù)的對(duì)稱微分算子相比較，從而得出其譜是離散的結(jié)論；進(jìn)一步當(dāng)x→∞時(shí)，微分算子的系數(shù)αk(x)可能隨著ex的乘方增大而增大，我們又給出其譜是離散的充分與必要條件.其次研究了一類具指數(shù)系數(shù)的對(duì)稱微分算式生成的自伴微分算子的譜，我們得到該類微分算子的系數(shù)滿足一定條件時(shí)，末項(xiàng)系數(shù)按照一定的方式趨于無(wú)窮大時(shí)，其譜是離散的結(jié)論.進(jìn)一步得到不僅末項(xiàng)系數(shù)按照一定的方式

8、趨于無(wú)窮大時(shí)可以決定此類微分算子譜的離散性，而且，中間項(xiàng)和首項(xiàng)系數(shù)按照一定的方式趨于無(wú)窮大時(shí)也可以決定此類微分算子譜的離散性.最后，我們還研究了一類具指數(shù)系數(shù)的自伴微分算子本質(zhì)譜的存在范圍。
　　 本文共分八章，第一章緒論，介紹本文所研究問題的背景及本文的主要結(jié)果；第二章是文中所涉及相關(guān)符號(hào)，概念以及性質(zhì)；第三章研究了一端奇異兩區(qū)間微分算子自伴域的刻畫；第四章研究了兩端奇異兩區(qū)間微分算子自伴域的刻畫；第五章研究了含內(nèi)積倍數(shù)的一端