Boltzmann方程及其動力學模型.pdf

1、稀薄氣體的動力學方程是數(shù)學物理的重要研究分枝之一。該方向涉及自然科學的許多領域，應用十分廣泛，例如：非平衡態(tài)統(tǒng)計力學，天體物理，等離子體，半導體，航空技術和核反應堆理論等本學位論文以經(jīng)典Boltzmann方程，(Gauss)BGK模型以及描述耗散氣體的Boltzmann 型方程等為研究對象，以尚待研究的問題為核心，建立一系列有關定性數(shù)學結果。 第一章，簡要的介紹了所要研究的幾類數(shù)學物理方程；就本學位論文所涉及的問題分析了它們的研

2、究現(xiàn)狀和存在的問題最后，給出本文所得到的一些主要結果，它們將在以后各章節(jié)中得到證明。 第二章研究一類刻劃散體介質流氣體的Boltzmann型方程，這是一個全新的研究方向。問題的物理背景是：氣體中任何兩分子在每次相互作用后保持動量守恒，但能量有一定的損失；并且氣體被置十一個大熱庫中在這種隋況下氣體的微觀狀志滿足一個Fbkker-Planck_Boltzmann型方程。本文在擬Maxwell分子模型近似隋況下研究其空間均勻解的光滑性

3、和大時間或漸近行為。首先，在初始分布是一個整體速度為零溫度有限的概率密度這一最弱的假設下，證明了解的光滑陛并給出了其snholev范數(shù)在零時刻的漸近估計其次，利用這一止則性結果和插值方法證明了當t→∞時解指數(shù)收斂于平衡態(tài)并給出了收斂指數(shù)的估計這些結果改進了M.Bisi，J A carrillo和G.rnscani在24中所得到的結論。 第三章以研究經(jīng)典Bohzmann方程空間均勻的概率解為核心，采用了Grad弱角截斷的硬位勢。首

4、先，利用Boltzmann碰撞貸子在連續(xù)函數(shù)空間上定義了一個連續(xù)線性泛函，由此將碰撞算子的定義域拓展到概率測度空問在這種情況下，給出了空間均勻Boltzmann方程在概率測度空間中的等價表述。其次，借鑒于[44]等中的方法給出了概率解的一些先驗估計，在初始分布分別屬十概率測度空間p2(R3)和p4(R3)的情況下證明了守恒解的存在性和唯一性最后，利用Mischler和wennberg在[37]中推廣的Povmer不等式和Desville

5、ttes的方法[42]，建立了高階矩的生成定理這些結果將[33，36，37，39，40，41，42，44]中部分已知經(jīng)典結論推廣到概率解；同時也改進了[38，56，57，58]中有關概率解的結論。 第四章，研究一般經(jīng)典Bohzmann方程指數(shù)型衰減的能量無限解，采用了Grad弱角截斷的軾位勢。首先，建立了碰撞算子在一類指數(shù)衰減(能量可以無限)可測函數(shù)類中的一致性估計，結合Kanile-shinbrot方法[59]證明了小振幅初始

6、值問題解的存在唯一性以及穩(wěn)定性．其次，在一般情況下建立了這種能量無限解在該函數(shù)類中的穩(wěn)定性(但足未獲得存在性以及解的大時間漸近行為這些結果改進了Mlschler和Petthame在[70]中證明的結論注意到在[74]中建立了碰撞算子在連續(xù)函數(shù)空間上的一種極其重要的表不井在連續(xù)函數(shù)類中建立了類似的結果，這里采用了Kaniel-shjnbrot方法。 第五章在RN中研究氣體動力學理論中極其重要的BGK模型。首先，證明了Penhame

7、在其重要上作[12]中所構造的整體分布解具有高階矩的傳播性質。其次，在碰撞頻率ν=ρμ(t，x)(μ≥1)的一般情況下，在一類加權L∞空間中證明了BGK模型解的唯一陛，同時還給出了一個局部存在陛結果，它們部分的改進了[87，88]中已有結論。 第六章在的RN中研究BGK模型的Lρ解。首先，將[87]中有關流體動力學量的L∞估計推廣到Lp占計，由此建立局部Maxwell分布的加權LP估計，它是對BGK碰撞模型的一種有效的估計方法.

8、其次，在以上估計的基礎之上建立了方程的一致性LP估計，然后利用速度平均緊引理和矩引理證明了逼近解的強收斂性，由此獲得了LP解的存在性；同時還給出了解的守恒性等一系列性質最后，證明了上述解對某些LP矩的傳播性.其中，解的存在性是一個不同于Petthame存在定理[12]的結果。 第七章研究BGK模型的一個修止情形，即橢圓統(tǒng)計模型(ellipsoidal statistlcalmodel)，又稱為Gauss BGK模型它是一類極其復