常數(shù)磁場薛定鄂算子的調和分析問題.pdf

1、隨著Schrodjnger算子理論的發(fā)展，調和分析在研究其中的很多問題中起到越來越重要的作用。2006年，B.Simon(Schrodinger operators in the twentieth century)在總結二十世紀Schrodinger算子的研究進展時指出，與Schrodinger算子的現(xiàn)代理論最緊密相關的數(shù)學是泛函分析、調和分析和復分析。經典調和分析在一定的意義上可以看作是與Laplace算子緊密相關的數(shù)學理論，與Sc

2、hrodinger相關的調和分析問題的研究，是對經典調和分析理論的進一步的發(fā)展，成為現(xiàn)代數(shù)學領域的一個熱門的研究方向。
　　 本文充分結合了譜理論和經典調和分析的方法，在已有結論的基礎上，對常數(shù)磁場Schrodinger算子相關的一些調和分析問題進行了深入的研究。本文主要分為以下幾個部分。
　　 第一章是本文的緒論，主要介紹了Schrodinger算子的理論產生的背景，與該算子相關的調和分析問題研究的簡要發(fā)展歷程，以及磁

3、場Schrodinger算子的研究發(fā)展狀況。
　　 第二章研究常數(shù)磁場Schrodinger算子的Marcinkiewicz譜乘子的Lp有界光滑性條件，其中p在2的附近。研究譜乘子的基本工具是，根據常數(shù)磁場Schrodinger算子的譜表示，利用譜展開的Reisz平均構造兩個Littlewood-Paley g-函數(shù)，應用譜投影算子限制性定理，對這兩個g-函數(shù)Lp有界與求和指標β之間的關系給出精細的刻畫。并利用得到的結果，在H.

4、Dappa工作的基礎上，給出了常數(shù)磁場Schrodinger算子的譜乘子的Marcinkiewicz準則。
　　 在第三章中，我們討論與常數(shù)磁場Schrodinger算子譜展開的Riesz平均的幾乎處處收斂性問題。對有關Laplace算子，Hermite算子等有所研究，對于常數(shù)磁場Schrodinger算子并沒有這方面的研究。我們通過建立一類g-函數(shù)的L2估計，獲得相應的極大函數(shù)的估計，從而得到求和指標β>0時，Riesz平均在

5、L2中是幾乎處處收斂的。當0<β<(n-1)/2時，我們通過對緊支乘子的加權L2估計得到了Riesz平均這Lp(2≤p<2n/n-1-2β)中的幾乎處處收斂性。這個結論與經典的傅里葉積分的結論相似。
　　 在第四章，我們研究與常數(shù)磁場Schrodinger算子相關的Hardy空間。對于卷積核相關的Hardy空間以及扭曲卷積核相關的Hardy空間已經有了充分的研究，并且都已經得到了很好的結果。但是這種卷積和扭曲卷積混合的熱核相關的

6、Hardy空間還沒有被研究過，因此這種探索也是一個新的嘗試。我們得到其Hardy空間的原子分解，這些原子其消失條件與對應的扭曲平移相關。并引入一類Heisenberg型群，用與之對應的熱核相關的極大函數(shù)來等價地刻畫群上的Hardy空間，通過討論磁場Hardy空間與群上的Hardy空間兩者之間的關系，我們得到了常數(shù)磁場Hardy空間的Riesz變換的特征。
　　 本文第五章主要研究多參數(shù)的、沿曲面的、帶粗糙核的奇異積分算子在Lp上

7、的有界性問題。當核函數(shù)球面部分屬于L(log+L)ε(Sm-1×Sn-1)(ε=1或2)，在乘積空間中沿著一個超曲面的奇異積分算子及其相應的Marcinkiewicz算子是Lp上有界的算子。問題的研究歸結為一個低維的極大函數(shù)的估計。這里的光滑性條件幾乎是最優(yōu)的。
　　 最后，我們總結本文得到的主要成果，并且著重介紹了科研成果中的創(chuàng)新性結論和創(chuàng)新性方法。還對常數(shù)磁場Schrodinger算子今后的研究工作做出了進一步的展望與設想。