幾類常及拋物型微分方程的數(shù)值算法研究.pdf

1、延遲偏微分方程為數(shù)學(xué)建模，描述和仿真世界中的諸多復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題提供了必要依據(jù)。其數(shù)值解不僅讓我們更為直觀的了解延遲偏微分方程所描述對(duì)象的進(jìn)程，而且為進(jìn)一步控制和利用某些進(jìn)程提供了極其重要的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。本文將引入和改進(jìn)若干相關(guān)數(shù)值算法，以期獲得幾類常及拋物型偏微分方程的高精度數(shù)值解。本研究分為五個(gè)部分：
　　 第一章，首先給出了問題的研究背景和來源，并指出了研究該問題的現(xiàn)實(shí)意義。接著討論了該問題的研究現(xiàn)狀。在相繼章節(jié)中，我們討論

2、了偏微分方程的時(shí)間離散，空間離散以及全離散之后的非線性代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)值求解，并給出了若干新的理論結(jié)果。
　　 第二章，探討了局部間斷有限元方法來研究求解延遲反應(yīng)擴(kuò)散方程。首先，利用Halanay不等式，證明了數(shù)值算法的穩(wěn)定性。該穩(wěn)定性結(jié)果意味著，在一定條件下，數(shù)值解解的擾動(dòng)受控于系統(tǒng)的初始擾動(dòng)。接著，得到了半離散的局部間斷有限元解一維延遲拋物方程的誤差估計(jì)，即對(duì)于上述問題，使用k次間斷有限元，可以得到最優(yōu)(k+l)階精度。此外，研

3、究了該算法的數(shù)值耗散性。結(jié)果表明：局部間斷有限元具有保持系統(tǒng)的耗散性的優(yōu)良性質(zhì)。因此，局部間斷有限元是一種非常有效的數(shù)值算法來解延遲反應(yīng)擴(kuò)散方程。
　　 第三章，將間斷有限元應(yīng)用到解延遲常微分方程問題，并得到了間斷有限元的全局穩(wěn)定性和類漸近穩(wěn)定性的判據(jù)，以及間斷有限元解一階線性延遲方程的超收斂結(jié)果。數(shù)值算例證實(shí)了理論結(jié)果。
　　 第四章，以隱顯算法為基礎(chǔ)，我們給出了系列預(yù)估校正算法來解非線性拋物問題。同時(shí)，對(duì)該算法的截?cái)?/p>

4、誤差和穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。由于該算法在每步計(jì)算中避免了多次迭代，因此比通常的線性多步法和Runge-Kutta法計(jì)算量要少。此外，與隱顯方法相比，我們的方法一般擁有更大的穩(wěn)定域和較高的精度。這些優(yōu)勢都在本文給出的數(shù)值算例中得到證實(shí)。
　　 第五章，受到分裂算法思想的啟發(fā)，我們得到了一種分裂牛頓迭代算法。同時(shí)，給出了數(shù)值算法收斂性條件和誤差結(jié)果。當(dāng)將該算法應(yīng)用到求解拋物問題時(shí)，數(shù)值結(jié)果顯示該算法是一種非常有效的數(shù)值方法。該方法同經(jīng)典