幾類具時變延遲的非線性隨機微分方程的數值算法及理論.pdf

1、隨機模型已經在很多的科學和工程領域的分支上起到了很重要的作用.越來越多的學者開始加入到研究隨機微分方程的行列.隨著近些年研究的深入,各種不同類型的隨機微分方程開始獲得學者的關注,比如,具常延遲的隨機微分方程,具變延遲的隨機微分方程,帶泊松跳的隨機微分方程,具馬爾科夫轉換的隨機微分方程.可是,大部分帶有延遲和其他類型隨機過程的隨機微分方程的精確解不能顯式給出.因此,研究隨機微分方程的數值解就顯得越發(fā)的重要.本文針對幾類具時變延遲的Ito型

2、隨機微分方程的解析解和數值算法進行了研究,著重研究了它們的數值收斂性,穩(wěn)定性.
　　在第一章,鑒于隨機微分方程在各個領域的普遍應用,此文扼要的舉出了若干個隨機模型,回顧了隨機微分方程以及其數值解研究的現實情況,介紹了本工作的主要內容和研究意義,并介紹了一些常用的記號、定義和基本理論.
　　在第二章,考慮一類具分段常變元的非線性隨機微分方程.利用隨機單支θ-方法模擬此類隨機微分方程.在全局Lipschitz和線性增長條件下,給

3、出了該數值方法的收斂定理和收斂階,此外還討論了參數θ取不同值時,其數值解是否保持相應的指數穩(wěn)定性.最后一部分利用數值試驗證實了該方法的收斂階和指數穩(wěn)定性.
　　第三章對于滿足單邊Lipschitz條件的具分段常變元的非線性帶跳隨機微分方程的數值解進行分析.選擇了一類可以解決剛性問題的補償分裂平衡法來處理這類隨機微分方程.重點分析了此數值算法作用在此類方程上的強收斂性,分析當中用到了連續(xù)形式的數值格式而不是之前平衡法常用的離散形式的

4、數值格式.并且,給出了此數值方法的數值解保持相應的解析解的指數穩(wěn)定性所要滿足的充分條件.章節(jié)的最后數值驗證了補償分裂平衡法的強收斂性和指數穩(wěn)定性.
　　在第四章,分析了作用在具馬爾科夫調制的強非線性隨機時變時滯微分方程的向后歐拉法.由于此類方程滿足局部Lipschitz條件和單邊多項式增長條件,它具有很強的非線性,此外還受到時變延遲的影響,因此分析這類方程的數值解時往往很難得到其強收斂的性質.為此引入了幾個引理,在證明的過程中加上

5、了處理時變延遲的技巧,證明了向后歐拉法作用在此類方程的強收斂性.此外,利用連續(xù)型和離散型的半鞅收斂理論,證明了其數值解在滿足一定的條件下保持方程解析解的幾乎必然指數穩(wěn)定性.給出了相應的數值試驗來驗證我們的理論.
　　在第五章,針對一類具馬爾科夫調制的強非線性隨機中立型微分方程,證明了此類方程的漸近有界性和p次指數穩(wěn)定性.文中分別給出了兩個主要定理,基于李雅普諾夫理論分析得到了第一個定理,依據第一個定理和M-矩陣的性質,第二個定理給