幾類結(jié)構(gòu)矩陣的譜問題.pdf

1、眾所周知，在工程計算和實際應用中有許多問題最終都歸結(jié)為矩陣計算問題，而且不同的應用會導出一些具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣計算．最常見的一些結(jié)構(gòu)矩陣有 Toep-litz矩陣[ai-j]，Hankel矩陣[ai+j]，Toeplitz-plus-Hankel矩陣，Cauchy矩陣[1/ai-bj]等等．處理與這些結(jié)構(gòu)矩陣有關的矩陣計算問題(例如計算特征值、求解線性方程組等)，若矩陣的階數(shù)較小時，通常的經(jīng)典算法是可行的(例如 LU分解算法、QR算法等

2、)．然而，在許多實際應用當中，矩陣的階數(shù) n很大(n～106-109)或某個線性方程組需要多次計算直到得到一個滿意的結(jié)果(例如迭代法時)，此時這些經(jīng)典的算法由于代價太大而失去了實際意義． 因此，針對這些結(jié)構(gòu)矩陣的特點而設計一些能利用它們的結(jié)構(gòu)的、數(shù)值穩(wěn)定的快速算法，具有非常重要的意義．正因為結(jié)構(gòu)矩陣在實際應用中所具有的重要意義，國內(nèi)外眾多的學者將目光投入到這一領域．結(jié)構(gòu)矩陣的快速算法中最著名的莫過于快速傅里葉變換(即 FFT)，

3、有許多快速算法均是由快速傅里葉變換導出的．因此，著名數(shù)學家 Charles Van Loan曾這樣評價快速傅里葉變換算法：“從計算的角度看，快速傅里葉變換是本世紀最杰出的成就之一，毫不夸張地說，快速傅里葉變換改變了科學與工程計算的面貌，如果沒有它，生活將會是另一種景象”． 本論文主要研究了實 Hankel-circulant和 Hankel-skew-circulant矩陣的奇異值分解，給出了對稱 Toeplitz-plus-H

4、ankel矩陣特征值的快速算法和這個計算矩陣特征值算法的數(shù)值實驗．理論和數(shù)值實驗顯示，這個快速算法是行之有效的． 第一章，我們簡單介紹了研究結(jié)構(gòu)矩陣快速算法的現(xiàn)實意義、研究概況以及常用的研究方怯，同時也給出了與本論文有關的幾類結(jié)構(gòu)矩陣的定義及其基本性質(zhì)． 第二章，我們給出了 n階對稱 Toeplitz-plus-Hankel矩陣與一個 n維向量乘積的快速算法；并利用 n階矩陣的對稱性，對其實施 Lanczos三對角化和