Lucas與Lehmer數(shù)的本原素除子存在性理論在指數(shù)丟番圖方程中的應(yīng)用.pdf

1、本文利用Y.Bilu、G.Hanrot和P.Voutier關(guān)于Lucas數(shù)和Lehmer數(shù)的本原素除子的存在性的深刻理論、二次丟番圖方程解的表示以及二次域類數(shù)等方面的精細(xì)結(jié)果研究一些指數(shù)丟番圖方程的整數(shù)解和解數(shù)。 第一章，研究了一些廣義Ramanujian-Nagell方程，得到了如下一些結(jié)果。 1.設(shè)整數(shù)D>2且不是2的方冪，奇素數(shù)p不能整除D，證明了丟番圖方程x<'2>+D<'m>=p<'n>僅當(dāng)D=3，p=13時存

2、在兩組使2|m的正整數(shù)解(x，m，n)，否則此方程最多存在一組使2|m的正整數(shù)解(x,m，n)，從而改正了Bugeaud<'[6]>的一個錯誤。 2.設(shè)整數(shù)D>2且不是2的方冪，奇素數(shù)p不能整除D，證明了方程x<'2>+D<'m>=p<'n>最多有兩組正整數(shù)解(x，m，n)，從而改進(jìn)了Bugeaud<'[6]>和樂茂華<'[50]>的結(jié)果。 3.證明了丟番圖方程x<'2>+(3a<'2>±1)<'m>=(4a<'2>±1

3、)<'n>在3a<'2>±1為奇素數(shù)或奇素數(shù)冪時恰有兩組正整數(shù)解(x，m，n)。 第二章，研究了指數(shù)丟番圖方程A<'x>+B<'y>=C<'z>，得到了如下一些結(jié)果。 1.設(shè)A=|m(m<'4>-10m<'2>+5)|，B=5m<'4>-10m<'2>+1，C=m<'2>+1，2 |m>0，證明了丟番圖方程A<'x>+B<'y>=C<'z>僅有正整數(shù)解(x，y，z)=(2，2，5)，從而改進(jìn)了Terai<'[3]>、曹珍

4、富<'[65]>、董曉蕾<'[680]>和樂茂華<'[66]>的結(jié)果。 2.設(shè)整數(shù)a≥2，證明了丟番圖方程a<'2x>+(3a<'2>±1)<'y>=(4a<'2>±1)<'z>僅有正整數(shù)解(x，y，z)=(1，1，1)。 3.設(shè)整數(shù)a≥2，證明了丟番圖方程(8a<'3>±3a)<'2x>+(3a<'2>±1)<'y>=(4a<'2>±1)<'z>僅有正整數(shù)解(x，y，z)=(1，1，3)。 第三章研究了指數(shù)丟番