Abel群中子集和的一些問(wèn)題.pdf

1、加性群論與加性數(shù)論又稱堆壘群論和堆壘數(shù)論。其中許多古典問(wèn)題是直接問(wèn)題，即給出群的兩個(gè)子集A與B，我們來(lái)描述和集A+B的結(jié)構(gòu)。相反的問(wèn)題是逆問(wèn)題，即由和集A+B的結(jié)構(gòu)來(lái)決定A與B的結(jié)構(gòu)。 在這篇文章中，我們主要研究加性群論中與直接問(wèn)題和逆問(wèn)題有關(guān)的若干基本問(wèn)題，我們分六章來(lái)討論這些問(wèn)題。 在第一章，我們介紹一些基本概念與記號(hào)，并總結(jié)加性群論有關(guān)問(wèn)題研究的一些背景與進(jìn)展。 在第二章，我們用集合論的一些方法給出了Kne

2、ser’s定理的一個(gè)新的等價(jià)形式，即設(shè)G為Abel群，A，B為G的兩個(gè)有限非空子集，令H=H(A+B)={g∈G|A+B+g=A+B)為A+B的穩(wěn)定化子。此結(jié)果作為這篇文章中的一個(gè)基本工具，比高維東的結(jié)果更精細(xì)。我們用這個(gè)結(jié)果很容易推出加性群論的一些著名的定理(如Kemperman-Scherk’s定理，Cauchy-Davenport’s定理與Chowla’s定理)等一些關(guān)于子集和的一些結(jié)論。并用該定理改進(jìn)了M.B.Nathanson

3、關(guān)于群的加法基(堆壘基)的階數(shù)的上界。 在第三章，我們將Kemperman’s結(jié)構(gòu)定理(KST)推廣到下面兩種情形： (i)滿足|A+B=|A|++|B|+k(K為非負(fù)整數(shù))的子集對(duì)(A，B)。 (ii)滿足|A+B|=|A|+|B|-p(p>1為整數(shù))且A+B為非周期或存在某元素c∈A+B使v<,c>(A，B)=P的子集對(duì)(A，B)． 在第四章，我們將 D·Grynkiewicz 關(guān)于擬周期分解的性質(zhì)一

4、般化。如關(guān)于A的兩個(gè)擬周期分解，我們有下面更一般的結(jié)果：設(shè)A∪A與A′∪A′<,0>分別為A的擬周期為H與L的擬周期分解，其中H與L為G的非平凡子群．則下列結(jié)論之一成立： (i)A<,0>=A′<,0>,A<,1>=A′<,1>； (ii)存在H∩L的某個(gè)陪集的一子集K (可為空集φ)使A∪K為(H+L)一周期； (iii)L為H之真子群(L為L(zhǎng)-擬周期； (iv)H為L(zhǎng)之真子群(H

5、)且A′<,0>為H-擬周期。 另外，我們利用擬周期分解的性質(zhì)對(duì)Kemperman的一個(gè)奇怪的事實(shí)作出新的統(tǒng)一注解，并將Kemperman關(guān)于奇怪的事實(shí)成立條件“n>2p”換為更廣的條件：“群G中任意n-P個(gè)元生成的子群的階數(shù)>P”。 在第五章，我們給出了Kneser’S定理的一個(gè)新的等價(jià)形式的兩個(gè)應(yīng)用。我們首先給出了Abel群G的元構(gòu)成的序列s的和集的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)比高維東所給出的性質(zhì)更精細(xì)。另外，我們給出了Chu