玻色-愛因斯坦凝聚中的約束極小問題研究.pdf

1、本文主要研究R2中一類描述玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation，簡記作:BEC)的能量泛函在L2范數(shù)下的約束極小問題.其中包括在粒子間相互吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚的平均場近似，在粒子間相互非齊次吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚中出現(xiàn)的坍塌和集中現(xiàn)象，以及非齊次質(zhì)量臨界薛定諤方程基態(tài)解的唯一性與極限行為.
　　本文共分四章:
　　在第一章中，我們概述本文所研究問題的背景以及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

2、，并簡要介紹本文的主要工作以及相關的預備知識和一些記號.
　　在第二章中，我們首先研究R2中一個多體薛定諤哈密頓系統(tǒng)，證明了在平均場理論的框架下，當粒子數(shù)N→∞，但是散射長度κ→0時，R2中在粒子間吸引作用下的玻色氣體的基態(tài)能量會逼近于相關的Gross-Pitaevskii能量泛函的極小值.通過固定N|k|，就導出了R2中在粒子間吸引作用下的玻色-愛因斯坦凝聚的一個平均場近似.
　　在第三章中，我們考慮R2中在粒子間相互非齊

3、次吸引作用m(x)下的玻色-愛因斯坦凝聚，其在平均場理論的框架下可以通過Gross-Pitaevskii能量泛函描述.我們證明了極小可達元存在當且僅當吸引作用力a滿足a＜a*=‖Q‖22,其中Q是R2中方程△u-u+u3=0唯一的徑向對稱正解.于此同時，我們同樣分析了當a趨近于a*時極小可達元的集中行為以及對稱破缺現(xiàn)象.我們發(fā)現(xiàn)如果位勢函數(shù)的全局極小值點x0恰好也是m(x）的一個全局極大值點，那么當a趨近于a*時極小可達元全部質(zhì)量會集中

4、在x0處.
　　在第四章中，我們通過分析相關的L2約束下的Gross-Pitaevskii能量泛函來研究一類帶非齊次項質(zhì)量臨界的薛定諤方程的基態(tài)正解.與齊次情形，即m(x）≡1，不同的是，我們證明了當參數(shù)a達到臨界門檻值a*時，基態(tài)解的存在性與非存在性都有可能發(fā)生，這完全依賴于非齊次項m(x).另外對m(x)和位勢函數(shù)V(x）加上適當條件，我們還分析了對幾乎處處的a∈[0，a*）基態(tài)解的唯一性和徑向對稱性.最后若位勢函數(shù)V（x)的