偏積分微分方程擬小波及緊致差分方法.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人類發(fā)現(xiàn)了一類重要的方程:積分微分方程。這類方程出現(xiàn)在很多領(lǐng)域，如:具有記憶材料中的熱傳導(dǎo)、粘彈性力學(xué)、人口動力學(xué)等問題。由于這類方程的積分微分項(xiàng)通常帶有弱奇異性，因此這類方程的求解是一件困難的事情。而解決這類積分微分方程也是當(dāng)今研究的熱門課題之一。
　　本文主要采用擬小波方法、緊差分方法、有限差分方法來求解三類不同的積分微分方程。第一類方程是無界區(qū)域上的帶正定記憶項(xiàng)的積分微分方程。第二類和第三類方程均為帶弱奇

2、異項(xiàng)的積分微分方程。本文由七章組成。第一章主要介紹積分微分方程的歷史背景、研究動態(tài)，以及本論文的研究內(nèi)容的結(jié)構(gòu)。第二章和第三章主要采用擬小波方法研究第一類積分微分方程，第四章主要采用緊致差分方法研究第二類方程，第五章主要采用交替方向隱式歐拉方法及有限差分方法研究第三類方程，第六章主要采用交替方向隱式Crank-Nicolson方法及有限差分方法研究第三類方程。第七章為總結(jié)與展望。
　　在第二章對第一類方程的研究中，我們首次采用了擬

3、小波方法求解一類無界區(qū)域上的積分微分方程。首先在無界區(qū)間上任意選取一定點(diǎn)x0，再取定任意正常數(shù)p，這樣我們就可以得到無界區(qū)域上的一有限區(qū)域[x0-p，x0+p]。這樣我們就可以在這段區(qū)域上求出方程的數(shù)值解。一方面，由于該有限區(qū)域是任意確定的，而且擬小波是局部可解的，因此在端點(diǎn)附近的值與準(zhǔn)確值之間存在較大的誤差，為了得到更準(zhǔn)確的數(shù)值解，我們在求解誤差時(shí)將舍去一些誤差較大的數(shù)值解，這在后文中將詳細(xì)描述。另一方面，由于數(shù)x0，p的任意性，我們

4、可以模擬出無界區(qū)域上任意區(qū)間的數(shù)值解。在對方程進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，我們在時(shí)間上采用向前歐拉方法離散，空間方向采用擬小波方法離散，對于積分項(xiàng)采用三角形法則來逼近，即取右端點(diǎn)上的積分值作為逼近值。在這章中我們不僅求解了一維模型，還研究了二維模型，并給出了幾個數(shù)值例子加以證明。
　　第三章我們采用Crank-Nicolson方法結(jié)合擬小波方法對第二章同類無界區(qū)域上的積分微分方程進(jìn)行了研究探討。我們同樣采用上述方法來處理無界區(qū)間。時(shí)間方向采用

5、Crank-Nicolson方法，空間方向同樣用擬小波方法，而積分項(xiàng)則采用連續(xù)分片線性插值逼近方法來逼近。在這一章里我們同樣研究了一維和二維模型，并采用了第二章的數(shù)值例子進(jìn)行比較。
　　不管是在工程還是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有限差分法被大部分工程師和研究學(xué)者采納用來解決各類問題。這是因?yàn)椴罘址ㄊ且环N簡單有效的辦法，所以被大部分人采用。同樣過去許多學(xué)者采用差分法研究了積分微分方程，然而采用緊差分方法求解弱奇異積分微分方程卻工作較少。由于緊差分

6、是一種四階格式，而有限差分方法是一種二階格式，因此本文第四章主要采用緊差分方法代替有限差分方法求解帶弱奇異項(xiàng)的積分微分方程。在得到離散格式后，我們還嚴(yán)格證明了全離散格式的穩(wěn)定性和收斂性分析。并用數(shù)值例子證明了分析的準(zhǔn)確性。
　　在了解到弱奇異積分微分方程在時(shí)間上總是達(dá)不到豐滿階之后，我們對一種新的區(qū)間剖分方法產(chǎn)生興趣:等級網(wǎng)格剖分方法。這是因?yàn)椴捎玫燃壘W(wǎng)格方法剖分區(qū)間，使得區(qū)間在奇異點(diǎn)附近比較密集，在遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)附近比較稀疏，這樣有

7、效的彌補(bǔ)了方程的解的奇異性。另一方面，在了解到求解二維問題需要大量的存儲空間來存儲過去的數(shù)據(jù)之后，我們想到了用交替方向隱式有限差分法來緩解存儲問題，減少程序運(yùn)行時(shí)間。因此，在第五章采用基于非一致網(wǎng)格的交替方向有限差分法來研究弱奇異問題，在時(shí)間方向采用隱式歐拉格式，空間方向采用二階差分格式離散，得到收斂階為O(k+h2x+h2y)。還證明了該方法的穩(wěn)定性和收斂性。最后我們給出了兩個數(shù)值例子加以證明。
　　第六章是在第五章的基礎(chǔ)上對等