一類(lèi)由差分方程定義的正交多項(xiàng)式的漸近研究.pdf

1、本文主要研究了一類(lèi)由差分方程定義的正交多項(xiàng)式的漸近性質(zhì)，內(nèi)容包括：廣義Pollaczek正交多項(xiàng)式及其零點(diǎn)的漸近性質(zhì)，兩個(gè)不同的單位圓上的正交多項(xiàng)式序列的組合仍是單位圓上的正交多項(xiàng)式序列的一個(gè)充分必要條件，以及由差分方程定義的復(fù)正交多項(xiàng)式(其定義參看(1.18))的漸近零點(diǎn)分布。本文共分為六章。
　　 第一章簡(jiǎn)單地給出漸近分析的歷史背景及一些基本知識(shí)，包括基本的定義，正交多項(xiàng)式和特殊函數(shù)Airy函數(shù)的一些性質(zhì)，以及一些經(jīng)典漸近分

2、析方法的簡(jiǎn)單介紹。
　　 第二章我們引入由下面差分方程所定義的多項(xiàng)式(n+1)Pλn+1(x;a,b)=2[x(n+λ+a)+b]Pλn(x;a,b)-(n+2λ-1)Pλn-1(x;a,b)，n=1,2…,(1)初始條件為Pλ0(x;a,b)=1,Pλ1(x;a,b)=2x(λ+a)+2b.當(dāng)a＞|b|，λ＞0時(shí)，由(1)所定義的多項(xiàng)式是通常意義下的Pollaczek正交多項(xiàng)式，其權(quán)函數(shù)的支集是區(qū)間[-1，1].而在別的情況下

3、，比如b≥0且a≤b，此時(shí)由(1)所定義的多項(xiàng)式稱(chēng)為廣義Pollaczek正交多項(xiàng)式，其權(quán)函數(shù)的支集是由連續(xù)部分[-1，1]和離散部分(可數(shù)點(diǎn)集)組成.所以從權(quán)函數(shù)的支集來(lái)看，廣義Pollaczek正交多項(xiàng)式與通常意義下的Pollaczek正交多項(xiàng)式的性質(zhì)會(huì)有所不同.但令人驚訝的是在此之前，廣義Pollaczek正交多項(xiàng)式的研究并不多。
　　 首先，不失一般性，我們從差分方程(1)的一個(gè)特殊情況(λ=1，a=0，b=-b，b＞0

4、)出發(fā)，得出Pn(x)的積分表達(dá)式。然后，利用積分法求出Pn(x)在整個(gè)實(shí)軸上的一致漸近展開(kāi)，特別地，在關(guān)鍵點(diǎn)βn～1+b-n+…處的一致處理是從未遇到過(guò)的一種新情況.最后，利用Pn(x)的漸近結(jié)果得出其極端零點(diǎn)和αn，βn附近零點(diǎn)的漸近展開(kāi)，并用表格給出了在關(guān)鍵點(diǎn)αn，βn，x1=√1+b2，和x2=√1+b2/4附近Pn(x)的零點(diǎn)的真實(shí)值與漸近值的比較。
　　 第三章直接從差分方程出發(fā)，我們首先得到了Pn(x)在區(qū)間[-1

5、，1]和區(qū)域C\[-1，1]內(nèi)的緊子集上的一致漸近展開(kāi)，然后詳細(xì)分析了在關(guān)鍵點(diǎn)αn，βn處Pn(x)的一致漸近展開(kāi).我們得到的結(jié)果與第二章的結(jié)果吻合，從而在某種程度上說(shuō)明了從積分和差分方程兩個(gè)不同出發(fā)點(diǎn)所得出的結(jié)果的一致性和統(tǒng)一性。
　　 第四章，我們的主要?jiǎng)訖C(jī)是用Riemann-Hilbert(簡(jiǎn)寫(xiě)為R-H)方法得出Pn(x)的漸近展開(kāi)，這里出現(xiàn)的新情況是權(quán)函數(shù)w(x)是由區(qū)間[-1，1]和點(diǎn)集xn=√1+b2/n2，n=1，

6、2，…組成.據(jù)我們所知，這種情況的R-H問(wèn)題的研究還沒(méi)有出現(xiàn)。首先，我們選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，即權(quán)函數(shù)的支集是S(μ)=[-1，1]∪{2}的情況.目的是闡釋整個(gè)分析的過(guò)程及找出其與權(quán)函數(shù)支集是S(μ)=[-1，1]這種情況的不同之處.然后給出Pn(x)的R-H問(wèn)題刻劃，但整個(gè)問(wèn)題的分析還要繼續(xù)探討。這是因?yàn)殡m然我們已經(jīng)知道在αn，βn處的擬基本解涉及到Airy函數(shù)，但是，怎樣求出平衡測(cè)度和怎樣進(jìn)行變換仍然是一個(gè)有待解決的問(wèn)題.這也是作者

7、在未來(lái)的工作中將要考慮的問(wèn)題之一。
　　 第五章給出組合apn(x)+bqn(x)仍是單位圓上正交多項(xiàng)式的充分必要條件，其中pn(x)，qn(x)都是單位圓上的不同正交多項(xiàng)式序列，他們的權(quán)函數(shù)都是定義在單位圓上的正波雷爾測(cè)度。
　　 第六章給出由差分方程所定義的復(fù)正交多項(xiàng)式的漸近零點(diǎn)分布，利用得到的結(jié)論，我們先給出一些前人通過(guò)其他方法所得出的結(jié)果，比如含有非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)的Jacobi，Laguerre多項(xiàng)式的漸近零點(diǎn)分布.然