一類完全非線性拋物方程及其在圖像恢復(fù)中的應(yīng)用.pdf

1、本文研究如下帶非線性源的完全非線性拋物方程(公式略).它來(lái)源于自然界中許多擴(kuò)散現(xiàn)象,如無(wú)力磁場(chǎng)的阻性擴(kuò)散、生物種群的生存與競(jìng)爭(zhēng)、微分幾何領(lǐng)域的曲線收縮流、傳染病的蔓延、帶阻尼的彈性力學(xué)和Bellman-Dirichlet型問題等.本文的目的在于研究這類方程解的定性理論及其在圖像處理中的應(yīng)用.
　　本文第一章是緒論部分.
　　在本文的第二章,第一部分我們致力于研究Φ(x,u)>0情形Dirichlet問題古典解的局部存在性.通

2、常情況下對(duì)m≠0,方程在△u(x,t)=0的點(diǎn)退化或奇異.據(jù)我們所知,目前還幾乎沒有文章涉及此類問題的古典解,尤其是多維情形.但是事實(shí)證明古典解確實(shí)是存在的.我們基于拓?fù)涠壤碚?將問題轉(zhuǎn)化為某種線性化問題的古典可解性,而相應(yīng)的線性化問題可以通過Rothe方法輔以廣義多孔介質(zhì)方程正則化理論中的技巧求解.另外,解的比較原理對(duì)解的性質(zhì)的研究起著重要的作用,我們基于古典解極值點(diǎn)的時(shí)間發(fā)展給出了比較原理簡(jiǎn)單但巧妙的證明.
　　在本章第二部分

3、,我們?cè)诘谝徊糠值幕A(chǔ)上用正則化方法分別研究了Φ(x,u)=uq的退化情形和奇異情形Cauchy問題連續(xù)解的局部存在性.我們從算子本身的特點(diǎn)出發(fā),在泛函框架中給出了正則化問題解的一致Holder估計(jì),再利用算子的單調(diào)性和空間Lp(0,T;B)的緊性,輔以空間區(qū)域分解技巧得到正則化問題解的Laplacian的強(qiáng)收斂,最終通過極限過程證明連續(xù)解的局部存在性.
　　在第三章,我們?cè)诘谝徽陆⒌慕獾木植看嬖谛院捅容^原理的基礎(chǔ)上研究了Φ(x

4、,u)=uq(q∈R),Ψ(x,u)=up(p>0)情形Cauchy問題解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為,找到p的兩個(gè)臨界指標(biāo):整體存在指標(biāo)p0和臨界爆破指標(biāo)pc.首先我們研究q≥0情形,由于方程的非散度結(jié)構(gòu)和二階項(xiàng)的完全非線性性,傳統(tǒng)的能量估計(jì)方法不再奏效.我們引入非線性局部容度,通過容度估計(jì)來(lái)研究p>q+m情形解的爆破行為.進(jìn)一步,通過引入上(下)解,我們研究了0pc情形解的整體存在行為.不同于之前關(guān)

5、于臨界指標(biāo)p的研究,我們發(fā)現(xiàn)還存在q的臨界指標(biāo):q0=m.當(dāng)q>m,解的整體存在區(qū)間變大,任意非平凡初值爆破的區(qū)域退化.接下來(lái)我們用同樣的方法研究q<0的情形.
　　作為本文最后一章,我們將完全非線性拋物方程用于圖像恢復(fù),彌補(bǔ)了經(jīng)典TV模型在“坡”問題中的不足.首先我們?cè)诎肴豪碚摰目蚣芟卵芯苛艘活愖赃m應(yīng)的完全非線性去噪模型(公式略)，證明了該方程Dirichlet問題積分解的適定性.該模型用△u的符號(hào)調(diào)節(jié)圖像水平曲線的擴(kuò)散方向.數(shù)