奇攝動方程和分數(shù)階方程的計算方法.pdf

1、本文由二部分組成，第一部分研究奇攝動問題的數(shù)值方法，第二部分研究分數(shù)階微分方程的數(shù)值方法． 本文主要考慮邊界層型奇攝動問題，當小參數(shù)ε→0時，奇攝動問題的解作為小參數(shù)ε的函數(shù)，在邊界層區(qū)域內(nèi)變化很大，具有邊界層奇性． 傳統(tǒng)的差分方法不適合于這類問題的計算．特別地，基于中心或迎風差分方法的逐點誤差在一致網(wǎng)格上是與￡的負次冪成正比，因此人們更感興趣于與ε無關(guān)的數(shù)值方法，即一致收斂的數(shù)值方法． 近十年來最流行的差分方法

2、是Shishkin網(wǎng)格法，為了提高其收斂階，人們采用Bakhvalov思想，構(gòu)造了Bakhvalov-Shishkin網(wǎng)格法．本文在Shishkin網(wǎng)格法的基礎(chǔ)上提出了多過渡點方法．多過渡點方法是完全不等距的差分格式，具有Bakhvalov-Shishkin格式相同的計算精度，而計算復(fù)雜性與Shishkin格式相當，因此它是一個實用有效的方法．多過渡點方法的主要思想是：根據(jù)奇攝動問題邊界層的性質(zhì)，提出多過渡點的選取方法，然后構(gòu)造多逐段離

3、散網(wǎng)格函數(shù)作為閘函數(shù)，進一步估計截斷誤差，證明中采用了一些傳統(tǒng)Shishkin網(wǎng)格法所沒有的技巧． 整數(shù)階微分方程數(shù)值方法的種種技巧早已應(yīng)用于求解分數(shù)階微分方程．然而直到最近3年，分數(shù)階微分方程數(shù)值方法的理論證明才得到發(fā)展，尤其是穩(wěn)定性和收斂性，其證明工作剛剛開始，有一定難度，急需進一步發(fā)展和完善． 目前分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解的工作皆以拋物型方程為主要研究對象，數(shù)值方法全部采用有限差分方法，并且要求分數(shù)階導數(shù)項前的系數(shù)與

4、時間亡無關(guān)．本文的證明方法完全不同于前人，分數(shù)階導數(shù)項前的系數(shù)可以是變量x和t的函數(shù)，差分格式按無窮大范數(shù)穩(wěn)定和收斂．由于證明方法不同，本文數(shù)值方法的穩(wěn)定性是指按初值穩(wěn)定和按右端穩(wěn)定，而前人所證明的穩(wěn)定性是指按初值穩(wěn)定． 第一章介紹了奇攝動問題常見的數(shù)值方法，介紹了分數(shù)階微分方程在理論和數(shù)值方法的研究情況，并將本文的工作與前人的工作做了全面的比較． 第二章研究奇攝動對流一擴散問題，選取了多過渡點，構(gòu)造多過渡點格式并證明格

5、式是O(N<'-1>)階一致收斂，這里N是指網(wǎng)格剖分數(shù)目． 第三章研究奇攝動對流-擴散弱奇性Robin問題和強奇性Robin問題．對弱奇性Robin問題構(gòu)造Shishkin格式，證明格式是O(N<'-1>lnN)階一致收斂；對強奇性Robin問題構(gòu)造多過渡點格式并證明格式是O(N<'-1>)階一致收斂． 第四章研究二類奇攝動拋物型方程，一類是在空間導數(shù)項前含有小參數(shù)ε，我們在空間x上選取多過渡點；另一類是在時間導數(shù)項前含

6、有小參數(shù)ε，我們在時間t上選取多過渡點．對這二類奇攝動問題分別采用多過渡點格式并證明格式是一致收斂的，改進了前人的結(jié)果． 第五章考慮n+1項線性時不變分數(shù)階連續(xù)時間方程，引入多個變量將高階方程轉(zhuǎn)化為α階(0<α<1)分數(shù)階微分方程的方程組，利用解耦方法構(gòu)造了數(shù)值逼近表達式，并證明數(shù)值方法的相容性、穩(wěn)定性和收斂性． 第六章研究Riesz空間分數(shù)階反應(yīng)一擴散方程，構(gòu)造了顯式格式和隱式格式，證明了顯式格式是有條件按初值穩(wěn)定和按