非線性Fourier原子的研究.pdf

1、非平穩(wěn)信號的主要特征是其頻率是時間的函數(shù).經(jīng)典Fourier分析不能揭示非平穩(wěn)信號的時變特征.這主要是由于Fourier分析是將一個周期函數(shù)分解為無窮多個最和諧的函數(shù),即頻率為其基本頻率整數(shù)(包括零)倍的正弦波的加權(quán)和。然而,這些正弦波的頻率是固定不變的.Fourier分析只是適用于分析信號的組成分量的頻率不隨時間變化的平穩(wěn)信號,分析結(jié)果也僅僅能夠昭示一個信號是由多個正弦波疊加而成.理想的時頻分析方法為將復(fù)雜信號分解為某些簡單信號的疊加

2、,且對這些簡單信號能定義有意義的瞬時頻率和構(gòu)造其時頻分布.瞬時頻率是定義在解析信號的相位求導(dǎo)上的,是一種新的頻率描述方法,使得對非平穩(wěn)信號同樣可以進行頻譜分析.N.E Huang研究的Hilbert-Huang變換提供了一種算法將一個復(fù)雜的瞬變信號分解為有限數(shù)目的固有模態(tài)函數(shù)的和,其實驗表明經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法中每一階固有模態(tài)函數(shù)與Hilbert變換有著密切聯(lián)系,每-階固有模態(tài)函數(shù)為滿足解析條件的解析信號的實部,可視為單分量信號.解析信號理

3、論在Hilbert-Huang變換起到重要作用.經(jīng)典Fourier分析中Fourier原子為具有線性相位的單位解析信號,是否存在具有非線性相位的解析信號?已經(jīng)證明了非線性Fourier原子為具有非線性相位的單位圓解析信號.進一步地得到由Blaschke乘積構(gòu)造的廣義非線性Fourier原子亦為單位圓解析信號.但是,廣義非線性Fourier原子不具有正交性.問題的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造一組標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù),使得其為具有瞬時幅度和瞬時頻率的解析信號

4、。 本論文的主要研究工作是圍繞著非線性Fourier原子來展開的.首先,針對解析信號的有關(guān)知識進行了研究.給出了分?jǐn)?shù)階Fourier域上的Bedrosian定理,并進一步討論線性正則變換域上解析信號的有關(guān)性質(zhì)和Bedrosian定理.其次,主要證明了存在一組標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù),其為具有瞬時幅度和瞬時相位的解析信號,并討論了其構(gòu)成Fourier級數(shù)的Cesàro平均求和法.本文的主要創(chuàng)新之處體現(xiàn)在以下幾個方面： (1)瞬時頻率

5、分析與解析信號密不可分,而Bedrosian定理在解析信號的構(gòu)造中起到重要的作用.分?jǐn)?shù)階Fourier變換和線性正則變換為Fourier變換的推廣.首先,證明了分?jǐn)?shù)階Fourier域上的Bedrosian定理.其次,進一步討論線性正則變換域上解析信號的有關(guān)性質(zhì)和Bedrosian定理。 (2)非線性Fourier原子為單位圓解析信號,其瞬時頻率為正的.由Blaschke乘積得到的廣義非線性Fourier原子為非線性Fourier

6、原子的推廣,其仍為單位圓解析信號.然而,其不具有正交性.本文通過對Blaschke乘積進行Gram-Schmidt正交化得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù),并給出了此類基函數(shù)的幅度和相位的具體表達(dá)式,證明了其為具有非負(fù)瞬時頻率的圓解析信號.從而,任何復(fù)雜的信號就可被分解為不同的具有瞬時幅度和瞬時相位的解析信號的組合.這為利用非線性Fourier原子來分析非平穩(wěn)信號提供理論基礎(chǔ)。 (3)類似于經(jīng)典的Fourier級數(shù)中的有關(guān)結(jié)論,有必要研究發(fā)

7、散級數(shù)的求和法,以便我們能按某種意義給出一些發(fā)散級數(shù)的和.本文主要研究標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)構(gòu)成Fourier級數(shù)的Cesaro平均求和法.在一定條件下,給出了block-Cesàro平均求和的核函數(shù)-Fejer核的具體表達(dá)式,解決了一般的Cesàro平均求和情形下的收斂性問題。 (4)基于已經(jīng)構(gòu)造的一種階梯型濾波器,著重討論在分?jǐn)?shù)階Fourier域中利用階梯型濾波器來處理采樣信號,從而得到與非線性Fourier原子相關(guān)的重構(gòu)公式.此外