新型Krylov子空間算法及其應(yīng)用研究.pdf

1、科學(xué)與工程應(yīng)用領(lǐng)域中的許多問題最終歸結(jié)為大規(guī)模稀疏線性方程組數(shù)值求解問題。如量子色動力學(xué)(QCD)中的格點規(guī)范理論，流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程求解，地震反演模擬過程中的Helmholtz偏微分方程求解等。隨著科技的快速發(fā)展和應(yīng)用，人們對上述問題的計算的速度和精度要求變得越來越高。盡管計算機的數(shù)值模擬的能力和存儲性能在不斷的提高，且各種迭代方法不斷涌現(xiàn)，但仍沒有一種高效且適用于各種形態(tài)的線性方程組的求解方法。因此，如何高效

2、省時地求解這類方程組已經(jīng)成為科學(xué)計算中的重要課題之一。
　　本文圍繞上述問題進行了研究，主要對兩類序列線性系統(tǒng)(帶位移線性系統(tǒng)和多右端線性系統(tǒng))求解展開了討論。研究內(nèi)容與主要成果如下：
　　1.基于Frommer于2003年給出了位移BiCGstab算法，提出了位移QMRCGstab方法與位移QMRCGstab2方法。這類方法融合擬最小化殘差思想(quasi-minimum residual)，改善了位移BiCGstab方法

3、的數(shù)值行為，消除了殘差收斂行為不規(guī)則的現(xiàn)象。同時保持了Krylov子空間位移不變性質(zhì)，使得算法在求解一系列位移方程組所需的矩陣-向量乘的次數(shù)等同于求解單個方程組的次數(shù)，從而在一定程度上減少了計算量。數(shù)值實驗表明，這類方法可有效的平滑殘差曲線，保證了數(shù)值計算的穩(wěn)定性。
　　2.基于Ahuja等人于2012年提出的RBiCG算法，將其推廣并應(yīng)用到求解帶位移的線性方程組中。然而，不同于傳統(tǒng)子空間方法，該算法相應(yīng)的擴張Krylov子空間(

4、即加入循環(huán)不變子空間)不再具有位移不變性質(zhì)。為此，借助于一種簡單技巧來保持這個性質(zhì)，同時設(shè)計了一種短遞歸位移算法(RBiCG-sh)。特別地，在算法實現(xiàn)上，重新設(shè)計了位移方程組的近似解的遞歸式，避免了額外的矩陣-向量乘積，有利于提高算法的執(zhí)行速度，從而節(jié)省一定的計算量。數(shù)值實驗表明， RBiCG-sh方法可有效且穩(wěn)定的求解問題。
　　3.基于Morgan于2005年給出的BGMRES-DR算法，首先提出了一種求解多右端線性系統(tǒng)的靈

5、活變型算法。隨后引入修正塊Arnoldi列向量收縮技術(shù)，使得算法在迭代過程中能夠檢測并處理幾乎線性或線性相關(guān)列向量，從而避免了算法執(zhí)行過程中的中斷現(xiàn)象。同時結(jié)合該列向量收縮技術(shù)，能夠在一定程度上減少矩陣-向量乘積次數(shù)。另一方面，該方法繼承了源算法的特征值收縮特性，在處理具有小特征值的棘手問題上更具有競爭優(yōu)勢。最后數(shù)值實驗驗證了DBFGMRES-DR算法的有效性與數(shù)值穩(wěn)定性。
　　4.針對多右端線性方程組求解問題，將GCROT(m,

6、 k)算法加以推廣，提出了塊狀GCROT(m, k)(BGCROT(m, k))方法，并且相應(yīng)的理論分析表明了BGCROT(m, k)方法產(chǎn)生的殘差的F-范數(shù)是呈遞減趨勢的。另一方面，為了提高BGCROT(m, k)算法的求解速度，進一步刻畫了靈活的BGCROT(m, k)方法。此外，我們再次引入了修正塊Arnoldi收縮技巧以避免BGCROT(m, k)迭代過程中的中斷現(xiàn)象，進而保證了算法的可行性與穩(wěn)健性。數(shù)值實驗表明與其他現(xiàn)有的塊迭