約束優(yōu)化問題的一類罰函數(shù)方法與誤差界理論及其應用.pdf

1、本論文主要研究了約束最優(yōu)化問題中一類光滑罰算法的收斂性和有限終止性與用信賴域方法和序列二次規(guī)劃(SQP)方法的子問題定義的價值函數(shù)為投影梯度以及可行解至最優(yōu)解集的距離提供了誤差界，進一步研究了可行解點列的收斂性和有限終止性.取得的主要結(jié)果可概括如下： 1.第2章對約束最優(yōu)化問題(NP)給出了一類光滑罰算法.它是基于一類逼近l1精確罰函數(shù)的光滑罰函數(shù)而提出的.這個算法的特點是每次迭代求出罰函數(shù)的全局精確解或者非精確解，在很弱的條件

2、下算法總是可行的.在不需要任何約束規(guī)范的情況下，證明了算法的全局收斂性，即算法產(chǎn)生的點列的任一聚點都是問題(NP)的最優(yōu)解.進一步，證明了算法的一個攝動定理，即算法產(chǎn)生的問題(NP)目標函數(shù)值序列的極限存在且等于(NP)的攝動函數(shù)在零點的極限.由這個定理可得出一系列有用的推論.特別是推出了問題(NP)的目標函數(shù)值序列收斂于問題(NP)最優(yōu)值的充分與必要條件是攝動函數(shù)在零點下半連續(xù).由于攝動函數(shù)僅與問題(NP)有關，因此這個結(jié)果可以預先用

3、來有效地判斷算法是否收斂.我們不僅證明了在Mangasarian-Fromovitz約束規(guī)范成立的假設條件下，經(jīng)過有限次迭代后所有迭代點是可行解，而且還給出了它的必要條件.最后，分別在問題(NP)的解集是非退化與弱強極小的假設下，證明了算法在有限次迭代后，它的所有迭代點的梯度投影將終止于問題(NP)的最優(yōu)解，并進行了數(shù)值試驗，試驗結(jié)果驗證了算法2.1產(chǎn)生的迭代點列{xk}的全局收斂性與在可行域上的投影梯度-xk=P(xk-▽f(xk)｜

4、S0)的有限終止性. 2.第3章在約束最優(yōu)化問題(NP)中，分別利用信賴域方法中的兩種信賴域子問題定義了兩種價值函數(shù)φ(χ，△)和φ(χ，△)，這兩種價值函數(shù)與先前文獻中正則間隙函數(shù)(也是一種價值函數(shù))有些不同，它們不是在可行解集S上產(chǎn)生，而分別是在給定點x∈S處約束函數(shù)和積極約束函數(shù)線性化后的多面體的一個信賴域上產(chǎn)生的.并研究了這兩種價值函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)將為下一章討論的誤差界奠定基礎.關于價值函數(shù)的水平集的有界性的條件，在

5、以往的文獻中一般都要求相應的映射是強單調(diào)的.最近，某文獻引入了比強單調(diào)相對弱的條件，即強強制性條件，在此條件下證明了變分不等式中自然剩余函數(shù)的水平集是有界的.但是對于本文中的價值函數(shù)φ(χ，△)和^φ(χ，△)來說，它的水平集的有界性，只需▽f(χ)滿足弱強制性條件. 3.第4章利用第3章所定義的兩種價值函數(shù)φ(χ，△)和φ(χ，△)，提供了幾類誤差界.利用價值函數(shù)蚤(χ，△)分別為投影梯度提供了一個全局誤差界和可行解至最優(yōu)解集

6、距離提供了一個局部誤差界；利用價值函數(shù)垂(χ，△)分別在強單調(diào)和單調(diào)的條件下，為可行解至最優(yōu)解集距離提供了一個全局誤差界和一個局部誤差界. 4.第5章利用第4章給出的誤差界，對可行解點列{χk，△k)(其中，χk∈S,△k是子問題 (QP(χk，△k))或(Q^P)(χk，△k))中在點χk處的信賴域半徑)的收斂性與有限識別進行了分析.對于有限終止性，我們注意到它在凸最優(yōu)化問題中已經(jīng)得到廣泛的研究，一些文獻分別在解集滿足弱強極小

7、和非退化的條件下研究了可行解點列的有限終止性，并得到了很好的結(jié)果.為了對更一般的最優(yōu)化問題研究它的可行解點列的有限終止性，我們在本章第三節(jié)中，先對上述兩個條件進行了較為詳細的分析與比較，并進行了某種推廣.最后，分別在廣義非退化以及廣義弱強極小的條件下，證明了ψ(χk，△k)收斂于零是可行解點列有限終止于K-T點的充要條件和有限終止于穩(wěn)定點的充分條件，它們改進和簡化了已有的相應結(jié)果. 5.第六章，利用序列二次規(guī)劃(SQP)方法的子