微分求積Trefftz方法及其應(yīng)用.pdf

1、微分求積法(Differential Quadrature Method，DQM)是一種有效的求解線性和非線性偏微分方程的數(shù)值方法。由于它的有效性和精確性，已被廣泛應(yīng)用于許多工業(yè)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域。微分求積法對(duì)比傳統(tǒng)的數(shù)值方法，優(yōu)點(diǎn)在于其簡(jiǎn)單易行，可以更靈活地選擇網(wǎng)格點(diǎn)。缺點(diǎn)在于解決復(fù)雜的不規(guī)則區(qū)域問題時(shí)存在一定困難。傳統(tǒng)的微分求積法能夠被直接用于規(guī)則區(qū)域，例如矩形和圓形定義域。對(duì)于復(fù)雜的幾何形狀，必須依賴坐標(biāo)變換的技術(shù)。這種方法首先將物理空間

2、中的不規(guī)則區(qū)域映射到計(jì)算空間中的規(guī)則區(qū)域，然后將微分方程和相應(yīng)的邊界條件也變形為計(jì)算空間中的相應(yīng)形式，數(shù)值離散就只須在計(jì)算空間中進(jìn)行。盡管這種技術(shù)對(duì)復(fù)雜區(qū)域問題能夠得到非常好的結(jié)果，但是仍不得不承認(rèn)其過程復(fù)雜，也沒有有限元法靈活。但是，由于多項(xiàng)式有許多有用的性質(zhì)，而微分求積法在矩形區(qū)域上的高效性，我們考慮使用其逼近方程的特解。 Trefftz法是一種邊界型解法，使用滿足控制方程的Trefftz基函數(shù)逼近函數(shù)值。Trefftz方法

3、可分為T-Trefftz法和F-Trefftz法，區(qū)別在于選用了不同的基函數(shù)。F-Trefftz方法，也就是基本解方法(Method of Fundamental Solutions，MFS)，其一個(gè)主要限制在于由于選用了帶奇性的基函數(shù)，需要在計(jì)算區(qū)域外加上人工邊界。我們選用了非奇性的T-Trefftz基函數(shù)來逼近方程的特解。 在這篇文章里，我們將介紹微分求積Trefftz法(Differential Quadrature Tr

4、efftz Method，DQTM)，這是一種耦合了微分求積法和Trefftz方法的數(shù)值方法。首先我們將求解原問題的函數(shù)值u轉(zhuǎn)變?yōu)榉謩e求解特解up和通解uh，然后分別通過微分求積法和Trefftz法求解特解和通解。由于這種分解，一方面在應(yīng)用微分求積法逼近特解時(shí)，可以把節(jié)點(diǎn)分布在一個(gè)套住原計(jì)算區(qū)域的規(guī)則輔助區(qū)域中，避免了坐標(biāo)變換，可以比較靈活地選擇節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，并且保留了微分求積法高精度的優(yōu)點(diǎn);另一方面T-Trefftz函數(shù)系的引入使得這種方