多面體及其鏈環(huán)對偶性質(zhì)的研究.pdf

1、凸多面體是幾何學(xué)的一個(gè)古老而重要的研究對象，它與人們的生活密切相關(guān)。多面體鏈環(huán)是將古老的凸多面體結(jié)構(gòu)和重要的紐結(jié)理論相結(jié)合，在解決近年來實(shí)驗(yàn)室中發(fā)現(xiàn)的病毒結(jié)構(gòu)和合成的超分子結(jié)構(gòu)的理論研究中，得到的理論成果。多面體鏈環(huán)是由多個(gè)環(huán)相互嵌套成的具有多面體形狀的一種拓?fù)鋷缀谓Y(jié)構(gòu)。本論文基于凸多面體的理論成果，從不同問題入手進(jìn)行了兩大方面的研究： 一：對偶是幾何學(xué)的一個(gè)重要概念和操作，多面體鏈環(huán)作為在多面體結(jié)構(gòu)上構(gòu)造的新型結(jié)構(gòu)，是否存在對

2、偶性，如何定義，如何操作，是關(guān)于多面體鏈環(huán)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)性研究。更進(jìn)一步，多面體鏈環(huán)是鏈環(huán)結(jié)構(gòu)的特例，紐結(jié)與鏈環(huán)一直是數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)，面對龐大而復(fù)雜的紐結(jié)表，如何分類，它們之間存在怎樣的聯(lián)系？我們將對偶理論引入紐結(jié)理論，給出對偶鏈環(huán)的定義和構(gòu)造方法，為紐結(jié)的分類提供依據(jù)，同時(shí)這一構(gòu)造方法的提出，為紐結(jié)超分子的合成提供新的思路，對實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)也具有重要的意義。 1.在圖論中間圖理論和拓?fù)淅碚摰幕A(chǔ)上，提出對偶多面體鏈環(huán)的定義。以五

3、個(gè)柏拉圖多面體為例，運(yùn)用“三交叉--雙線覆蓋”的方法構(gòu)造四面體鏈環(huán)，六面體鏈環(huán)和十二面體鏈環(huán)，利用“球面游走”的拓?fù)鋵W(xué)方法，得到相應(yīng)的對偶多面體鏈環(huán)。結(jié)果顯示，四面體鏈環(huán)是自對偶結(jié)構(gòu)，六面體鏈環(huán)和八面體鏈環(huán)，十二面體和二十面體鏈環(huán)互為對偶。從手性角度考慮，對偶變換具有手性保持的特征，十個(gè)多面體鏈環(huán)分為六組對偶多面體鏈環(huán)。從構(gòu)型角度考慮，四面體鏈環(huán)的自對偶是“平凡”的，六面體鏈環(huán)和八面體鏈環(huán)，十二面體和二十面體鏈環(huán)的對偶是“非平凡”的。這

4、一研究說明多面體鏈環(huán)具有對偶性，其對偶變換是拓?fù)涞摹?2.基于圖論中反轉(zhuǎn)中間圖的方法和紐結(jié)理論中的纏繞理論，我們提出了構(gòu)建對偶鏈環(huán)的新方法。這一方法定義了兩種有向4-度平面圖：Ge和Go，分別用E-tangles和O-tangles覆蓋兩種有向4-度平面圖的頂點(diǎn)。結(jié)果得到兩種對偶鏈環(huán)：E-dual links和O-dual links，它們具有許多不同的拓?fù)涮卣?，特別是它們的手性規(guī)則。研究表明，通過有向4-度平面圖和纏繞可以構(gòu)建

5、得到對偶鏈環(huán)。這一研究提出了對偶鏈環(huán)的定義及其構(gòu)建的方法。對偶鏈環(huán)為鏈環(huán)的研究提供了新的思路，這一構(gòu)建方法可以被用于指導(dǎo)手性分子的合成。 二：病毒是比任何細(xì)菌都小的感染性遺傳物質(zhì)，介于生命與非生命之間的一類無細(xì)胞結(jié)構(gòu)的生物，絕大多數(shù)病毒的衣殼蛋白裝配成二十面體對稱的結(jié)構(gòu)，“準(zhǔn)等價(jià)”原理是解決嚴(yán)格遵從二十面體對稱性的病毒衣殼幾何特征的有效而成熟的方法。但是隨著研究手段的不斷發(fā)展，更多的病毒結(jié)構(gòu)被發(fā)現(xiàn)，它們的農(nóng)殼結(jié)構(gòu)違背準(zhǔn)等價(jià)原理。

6、我們以這些奇特結(jié)構(gòu)為研究對象，找到它們的幾何模型，補(bǔ)充多面體結(jié)構(gòu)，為病毒研究提供理論指導(dǎo)。 乳多空病毒和多瘤病毒的72個(gè)五聚體的衣殼結(jié)構(gòu)違背Caspar-Klug(CK)“準(zhǔn)等價(jià)”原理。而且，72個(gè)五邊形的球面包裹問題是一個(gè)有待解決的數(shù)學(xué)難題。我們在十二面體框架的基礎(chǔ)上，利用“球面拉伸”的方法，得到新的具有二十面體對稱性，72個(gè)五邊形構(gòu)造的的多面體結(jié)構(gòu)。新型多面體結(jié)構(gòu)為72個(gè)五聚體的病毒衣殼結(jié)構(gòu)的模擬提出新的理論，為五邊形排列問