哈密頓體系中波的傳播、魯棒控制與辛方法探索.pdf

1、本文在對偶哈密頓體系的統(tǒng)一框架下，探討了波的傳播、魯棒控制與保守動力系統(tǒng)中的辛幾何求解理論和高效高精度的數(shù)值求解方法。主要工作如下： (1)本文將各向同性分層半無限空間中表面波問題導向?qū)ε俭w系，基于狀態(tài)方程矩陣是哈密頓矩陣的性質(zhì)，提出了一種求解分層半無限空間中Love和Rayleigh表面波問題的精確、高效方法。此方法聯(lián)合應用了精細積分法和擴展W-W算法。精細積分法是一個求解一階線性常微分方程組的精確數(shù)值方法，既可以應用于空間域

2、的兩點邊值問題，又可以用于時間域的初值問題。它可以給出計算機精度意義下的精確解，并且保持哈密頓體系的辛結(jié)構(gòu)。應用擴展的W-W算法求解從精細積分法得到的超越方程時，對任意給定的試驗頻率ω給出本征值計數(shù)J(ω)，通過計算試驗頻率ω處的本征值計數(shù)可以確保不會遺漏任何本征值。 (2)各向異性介質(zhì)有21個獨立的彈性參數(shù)，并且三個方向的位移分量都耦合在一起，這使得各向異性介質(zhì)中波的傳播性質(zhì)變得異常復雜。本文將各向異性分層介質(zhì)中的波傳播問題導

3、向?qū)ε俭w系，基于狀態(tài)方程是哈密頓矩陣的性質(zhì)，進一步將保辛的精細積分法和擴展W-W算法推廣應用于各向異性分層介質(zhì)的波傳播問題，該方法的有效性和高精確性得益于精細積分法對哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)的保持和本征值計數(shù)方法的應用。應用本文方法求解各向異性分層介質(zhì)的波傳播問題具有與求解各向同性介質(zhì)波傳播問題同樣簡潔的公式和統(tǒng)一的計算步驟。 (3)本文將粘彈性分層介質(zhì)中的平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機波傳播問題導入到對偶體系，將隨機性問題轉(zhuǎn)換為確定性問題，通過變

4、換將粘彈性介質(zhì)中的控制方程轉(zhuǎn)換為哈密頓正則方程，提出了平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機波傳播問題的虛擬激勵－保辛精細積分法。首先，虛擬激勵法將隨機波傳播問題轉(zhuǎn)換為波數(shù)－頻率域中的確定性問題進行求解。然后證明，雖然巖層是粘彈性介質(zhì)，存在阻尼或者能量耗散機制，但是將控制方程導入到對偶體系后仍然是哈密頓正則方程。在對偶體系下，波數(shù)－頻率域中的狀態(tài)方程是線性哈密頓方程的兩端邊值問題，保辛的精細積分法是求解此類問題的高精度算法，可以給出計算機意義下的精確解。

5、 (4)本文提出了隨機地震波作用下分層半無限空間與上部結(jié)構(gòu)相互作用問題的高效、精確方法。目前，對于巖層－結(jié)構(gòu)相互作用的研究都采用確定性激勵，但地震激勵本質(zhì)上是隨機的。本文中將虛擬激勵方法推廣應用于隨機性巖層－結(jié)構(gòu)相互作用問題。應用虛擬激勵法后，所有控制方程都轉(zhuǎn)換為確定性方程，這時可以應用精細積分法來積分波數(shù)－頻率域中的控制方程，得到計算機意義下的精確解。 (5)本文提出了哈密頓體系下大系統(tǒng)分散魯棒控制的廣義模態(tài)綜合法。在大系

6、統(tǒng)控制中，分散控制方法通過將整個系統(tǒng)劃分成一系列子系統(tǒng)來研究系統(tǒng)的控制問題，這與結(jié)構(gòu)力學中的子結(jié)構(gòu)分析技術類似。本文表明分散控制的提法與結(jié)構(gòu)力學中的子結(jié)構(gòu)分析相互模擬：靜力子結(jié)構(gòu)分析對應于通常意義的分散控制理論，而動力子結(jié)構(gòu)分析則對應于分散H∞控制理論。本文由此建立了H∞分散控制與子結(jié)構(gòu)振動問題之間的對應關系，指出大系統(tǒng)分散控制的最優(yōu)參數(shù)γcr-2對應于整體結(jié)構(gòu)的一階本征值，并利用模態(tài)綜合法計算出H∞分散控制問題中的最優(yōu)參數(shù)γcr-2。

7、給出了大系統(tǒng)分散魯棒控制廣義模態(tài)綜合法的正交性、完備性和展開定理。 (6)已有哈密頓系統(tǒng)的保辛算法多是基于差分近似的Runge-Kutta方法。保辛Runge-Kutta法的困難之處在于構(gòu)造高精度算法。本文基于分析結(jié)構(gòu)力學，利用時間有限元的概念，將廣義位移用形函數(shù)離散，得到近似作用量。利用近似作用量作為生成函數(shù)，構(gòu)造無約束和有約束保守系統(tǒng)的保辛算法。利用多個節(jié)點構(gòu)造高階形函數(shù)，能顯著提高有限元保辛算法的精度。最終通過天體力學、分