一些反問題的數值解法研究.pdf

1、自20 世紀60年代以來, 在地球物理, 生命科學, 材料科學,模式識別, 遙感技術, 信號圖像處理, 工業(yè)控制, 乃至經濟決策等眾多的科學技術領域中, 都提出了由效果, 表現（輸出)反求原因, 原像（輸入)"的反問題, 我們把它們通稱為"數學物理反問題". 由于絕大多數的反問題無法解析求解, 數值方法對反問題的研究起著根本性的作用. 由于此類問題的理論和算法具有極大的挑戰(zhàn)性, 又有著廣泛而重要的應用背景，因此吸引了許多學者從事該項研究

2、. 近三十年來, 數學物理反問題是應用數學中發(fā)展和成長最快的領域之一.
　　 反問題的研究內容非常廣泛, 本文將著重研究三種反問題的數值解法. 1)拉普拉斯變換的數值反演. 對于這種情況, 我們關心的是光滑的解. 2)第一類Fredholm 積分方程的分段常數解的數值解法, 這是一個線性的不適定問題.
　　 3)Robin 反問題的數值解法, 我們考慮Robin 系數為分段常數的情形, 這是一個非線性的不適定問題.

3、>　　 本文分為四章, 主要內容如下:
　　 第一章將介紹反問題的一些基礎知識, 包括問題的適定與不適定等基本概念, 并對第一類算子方程（特別是第一類積分方程)的求解方法作簡要的敘述.
　　 介紹了正則化方法的原理, 正則算子的構造, 正則解的誤差估計和正則化參數的確定方法. 本章最后將介紹一些關于Robin 反問題的背景知識和基本理論.
　　 在第二章, 我們提出了拉普拉斯變換反演的一種基于高階數值積分的算法

4、. 通過選擇適當的求積方法和樣本點, 得到誤差足夠小的離散方程組. 再對該線性方程組引進正則化算子以控制解的光滑性, 并對正則化后的問題選定適當的數值解法, 我們得到一個高精度的數值方法. 數值結果表明, 利用該章提出的算法來對拉普拉斯變換反演進行近似, 可以得到非常精確的數值結果.
　　 在第三章, 我們考慮第一類Freldholm 積分方程的分段常數解的數值方法. 我們假定解取k 不同的值, 并分別就解的取值給定和待定兩種情

5、況建立了修正的Tikhonov{TV 正則化方法. 我們對Tikhonov{TV 泛函用二次泛函進行逼近, 從而得到修正牛頓法. 數值結果表明: 在分段值的數目和分段的數量比較小時, 通過本章提出的數值方法可以取得比較好的結果, 可以比較準確的找出斷點位置和各段的取值.
　　 在第四章, 我們將討論Robin 系數為分段常數的Robin 反問題的數值解法, 這是一個非線性的反問題. 我們的方法建立在[ F. Lin and W.

6、 Fang,Inverse Problems, 21（2005), pp. 1757{1772]的基礎上: 先把該問題轉化為邊界積分方程問題, 再引進一個新的函數把問題線性化.與第三章相似, 我們考慮兩種情況. 第一種情況是已知解有k個不同的取值f c1; c2; : : : ; ck g且ci（I=1; 2; : : : ; k)已給定. 對于這種情況, 我們把這個信息加入到Tikhonov 泛函中,建立變形-Modica{Morto