有連續(xù)下界的反射重隨機(jī)微分方程的數(shù)值計(jì)算.pdf

1、Feynman-Kac公式解決了二階線拋物型和橢圓型偏微分方程的顯式解問題。為了推廣Fcynman-Kac公式，得到次線性偏微分方程的解，Pardoux和彭在[1]中建立并研究了一類新的隨機(jī)方程：倒向隨機(jī)微分方程(BDSDEs)。伴隨著Feynman-Kac公式的擴(kuò)展形式（給出了二階線拋物型和橢圓型隨機(jī)偏微分方程的顯示解），Pardoux和彭繼而在[4]中引入了一類新的方程：倒向重隨機(jī)微分方程(BDSDEs)，給出了次線性隨機(jī)偏微分方程

2、的顯示解。相應(yīng)的，石玉峰和谷燕玲在研究帶邊界的隨機(jī)偏微分方程過程中引入了帶反射的倒向重隨機(jī)微分方程(RBDSDEs)[29]，并給出了其解的存在唯一性條件。Auguste Aman及Modeste N'Zi在[5]中也完成了類似工作。帶反射邊界的倒向重隨機(jī)微分方程在存在各種限制條件的經(jīng)濟(jì)模型中有很好的應(yīng)用，但是絕大部分的帶反射倒向重隨機(jī)微分方程是沒有顯示解的。所以給出其數(shù)值解是十分必要和有用的。
　　 本文用懲罰的辦法，通過將布

3、朗運(yùn)動(dòng)近似為伯努利序列逼近來求得帶連續(xù)下邊界的倒向重隨機(jī)微分方程的數(shù)值解，并證明解的收斂性。考慮下述下邊界的重隨機(jī)反射微分方程Yt=ξ+∫tTf(s,Ys,Zs)ds+∫tTg(s,Ys,Zs)dBs-∫tTZsdWs+KT-Kt,0≤t≤TYt≥Lt。其中，Bt和Wt為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。Kt是不降過程且K=0。將[0，T]n等分，記0=t0＜t1＜…＜tn=T，δ：=tj-tj-1=T/n，這里1≤j≤n。我們定義如下的過程來近

4、似標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)Bt，Wt：｛B.n｝，｛W.n｝，0≤t≤T為兩列獨(dú)立的伯努利序列。且考慮區(qū)間[tj，tj+l]，通過上述替換我們得到RBDSDEs的離散近似通過懲罰方法，用pδ((?)-Lj)-來逼近k(?)+1一k(?)，我們得到，通過取條件期望的辦法，我們可以得到上述方程的隱格式解。很多情況下，為了取得顯式解，我們將方程中f((?))中的(?)替換為E[(?)]，用同樣的方法可以得到方程的顯格式解。?；谛畔⒆宓娜跏諗恳约爸仉S機(jī)微

5、分方程中數(shù)值算法收斂性的證明，我們可以類似的得到反射方程數(shù)值解的收斂證明。
　　 本研究主要內(nèi)容包括：第一章介紹了倒向重隨機(jī)方程及其數(shù)值算法的研究現(xiàn)狀。第二章介紹了帶下邊界的反射倒向重隨機(jī)微分方程的基本理論。第三章利用伯努利序列來近似布朗運(yùn)動(dòng)，在懲罰方法的基礎(chǔ)上給出了下邊界的倒向重隨機(jī)微分方程的顯格式與隱格式的數(shù)值算法。第四章在引用倒向重隨機(jī)方程的信息族收斂性結(jié)果以及擴(kuò)展的DonskerType定理的基礎(chǔ)上，證明了顯格式與隱格式