幾種隨機(jī)微分方程數(shù)值方法與數(shù)值模擬.pdf

1、隨機(jī)微分方程的理論廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、生物、物理、自動(dòng)化等領(lǐng)域，然而在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，由于缺乏有效的求解隨機(jī)系統(tǒng)的數(shù)值方法以及足夠強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)計(jì)算能力，在實(shí)際問(wèn)題中，以隨機(jī)微分方程(組)為代表的描述物理現(xiàn)象的許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型或者被束之高閣，或者被迫通過(guò)忽略隨機(jī)因素而簡(jiǎn)化，均不能得到很好的應(yīng)用。可喜的是近十年來(lái)，在隨機(jī)微分方程數(shù)值解方面已取得了一些成就，這意味著由某些隨機(jī)微分方程描述的數(shù)學(xué)模型可以借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行研究。 本文首先介紹

2、了隨機(jī)微分方程的背景知識(shí)及其理論解的重要性質(zhì)。其中通過(guò)隨機(jī)積分導(dǎo)出了Ito型和Stratonovich型兩種重要形式的隨機(jī)微分方程，并給出了計(jì)算隨機(jī)積分期望的相關(guān)引理；介紹了隨機(jī)微分方程強(qiáng)解的存在唯一性定理，對(duì)于線(xiàn)性隨機(jī)微分方程，給出了解的解析表達(dá)式；推導(dǎo)了解的隨機(jī)Taylor展開(kāi)式。 由于隨機(jī)系統(tǒng)的復(fù)雜性，一般情況很難得到方程理論解的解析表達(dá)式。這樣一來(lái)，數(shù)值方法的構(gòu)造顯得尤為重要?，F(xiàn)在對(duì)隨機(jī)微分方程數(shù)值解的研究還處在初級(jí)階段

3、。為了構(gòu)造有效的數(shù)值方法，首先要考慮到數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性。本文介紹了隨機(jī)微分方程理論解的隨機(jī)漸進(jìn)穩(wěn)定性和均方(MS)穩(wěn)定性，同時(shí)介紹了數(shù)值解的MS-穩(wěn)定性和T-穩(wěn)定性。 在主體部分，本文分別通過(guò)直接截?cái)嚯S機(jī)Taylor展開(kāi)式和比較理論解與隨機(jī)Runge-Kutta格式的Taylor展開(kāi)式的方法分別得到了數(shù)值求解隨機(jī)微分方程的Taylor方法和Runge-Kutta方法，并對(duì)具體方法進(jìn)行了MS-穩(wěn)定性分析，對(duì)實(shí)際算例進(jìn)行了數(shù)

4、值模擬。 其中顯式Euler-Mayamma方法和Milstein方法是求解It0型隨機(jī)微分方程的基本方法。本文在此基礎(chǔ)上介紹了相應(yīng)的半隱式Euler-Mayaruma方法、Milstein方法和隱式Euler-Taylor方法、Milstein方法，并通過(guò)截?cái)嚯S機(jī)Taylor展開(kāi)式的方式推導(dǎo)了1.5階Taylor方法。 在推導(dǎo)具體的Runge-Kutta方法時(shí)，本文首先介紹了Runge-Kutta方法在常微分方程中的應(yīng)

5、用，形式上類(lèi)比得到了隨機(jī)Runge-Kutta方法。通過(guò)應(yīng)用有根樹(shù)理論簡(jiǎn)化了Runge-Kutta格式的Taylor展開(kāi)式，應(yīng)用階條件構(gòu)造了3級(jí)顯式(M2)和3級(jí)半隱式(SIMl)兩個(gè)具體的Runge-Kutta格式。 穩(wěn)定性分析表明各種數(shù)值方法的隱式格式穩(wěn)定性?xún)?yōu)于相應(yīng)的顯式格式和半隱式格式。數(shù)值模擬表明新格式M2和SIMl與經(jīng)典的Runge-Kutta格式(如4級(jí)顯式(M3)和2級(jí)對(duì)角隱式(DIMl))一樣具有較高的數(shù)值精度。