賦β-范空間的等距理論和算子方程的穩(wěn)定性.pdf

1、Banach空間的等距理論的誕生和發(fā)展都與Banach空間的其它領(lǐng)域有著不可分割的聯(lián)系,至今仍是泛函分析學(xué)科中相當(dāng)活躍的研究領(lǐng)域.它具有特殊的特性和方法,通常許多命題的證明都需要相當(dāng)強(qiáng)的技巧性,從而增加了研究的難度性,至今還有許多未解決的問題.本人主要研究自己感興趣的賦β-范空間的等距理論,專門研究三個方面的問題包括Tingley等距延拓問題,Mazur-Ulam等距與仿射的關(guān)系問題,和等距逼近問題.它們在Banach空間幾何理論及算子

2、理論中都有重要的理論意義,并在自然科學(xué)中也有著廣泛的實(shí)踐價值.
　　 在第一章中,本人研究單位球面間的等距延拓問題,即Tingley問題(見問題1).在1.2節(jié)中,本人研究賦范空間單位球面間等距算子的延拓與一個范數(shù)不等式的關(guān)系.該不等式是定光桂教授在研究不同類型的空間的Tingley問題時首次提出,并由此證明任何一個從Banach空間E的單位球面S1(E)(S1(E)的光滑點(diǎn)在S1(E)中稠密)到C(Ω)的單位球面間的滿等距映射

3、在滿足此不等式下是可以延拓到全空間上的線性映射.方習(xí)年和王建華[40]把此結(jié)果推廣到一般的Banach空間中,并去掉了條件:Banach空間E的單位球面的光滑點(diǎn)在其稠密.在文[130]中我們得到了在賦β-范空間中更一般的結(jié)果.該結(jié)果(當(dāng)β=1時)推廣了文[34,75,40,41,8]中的相應(yīng)結(jié)果；另一方面,我們證明了該不等式也是非滿球面等距可以延拓的充分條件.其中的一個結(jié)論為(見定理1.2.2):設(shè)E,F是賦范線性空間,V0是從E的單位

4、球面S1(E)到F的單位球面S1(F)的等距映射.對任何x,y∈S1(E)有‖V0x-｜λ｜V0y‖≤‖x-｜λ｜y‖,()λ∈R.則V0能被延拓到全空間上的等距.此外,如果V0是滿射或F是嚴(yán)格凸,則V0能被延拓為全空間上的線性等距映射.
　　 在1.3節(jié)中,我們利用單位球面的幾何性質(zhì)來研究更一般的Tingley問題(見問題1.3.1),得到了幾個有趣的結(jié)果,其中的一個重要結(jié)果是:(見定理1.3.4)設(shè)E和F是β-范空間(0<β

5、≤1).令V0:S1(E)→F是一個等距映射,滿足條件:若x1+x2+x3+x4=x5+x6,xi∈S1(E),必有V0x1+V0x2+V0x3+V0x4=V0x5+V0x6,則V0能被延拓為全空間上的線性等距映射.此外,我們提出了一些值得進(jìn)一步研究的問題:(1)(見問題1.3.2)定理1.3.3中的內(nèi)積空間能否換為Birkhoff-James正交空間?(2)(見問題1.3.3)定理1.3.5中的β-嚴(yán)格凸β-范空間(0<β<1)能否被

6、β-范空間代替?
　　 在1.4節(jié)中,我們致力于研究2-等距的推廣.首先我們引入兩個新概念即(λ,ψ,2)-等距和弱(λ,ψ,2)-等距,然后討論它們與等距的關(guān)系并且研究它們的延拓問題.主要的結(jié)果是:(見定理1.4.3)在賦β-范空間E中,正齊性映射V0:B1(E)→B1(E)是(1,ψ,2)-等距的充要條件是‖V0x‖≥‖x‖,()x∈B1(E).
　　 在1.5節(jié)中,我們考慮的空間是E=Lp(Ω,∑,μ)和F=Lp(

7、v,H)(1　　

8、 在1.6節(jié)中,我們研究在賦β-范空間中等距與平移的關(guān)系,通過泛函方程理論的方法我們得到實(shí)β-范空間中平移的特征.主要結(jié)論是:(見定理1.6.1)設(shè)X為實(shí)賦β-范空間,f:X→X是等距滿足:(ⅰ)存在n∈N使得fn(x)在X中無不動點(diǎn)；(ⅱ)對每個x∈X,x,f(x)和f2(x)是共線.則存在a∈X＼{0}使得f(x)=x+a,x∈X.
　　 在第二章中,我們致力于研究保距離相等的映射與線性的關(guān)系,是Mazur—Ulam等距與

9、仿射的關(guān)系問題(見問題2)的進(jìn)—步發(fā)展.Vogt推廣Mazur-Ulam定理是通過保距離相等的映射取代等距映射完成的,Skof[105]推廣Vogt的結(jié)果是把滿的條件去掉,但是值域必須滿足一定的條件.在2.2節(jié)中,我們把Skof的結(jié)果推廣到更廣泛的賦β-范空間中,得到了一些新結(jié)果,其中最重要的一個結(jié)果是:(見定理2.2.1)設(shè)E和F為實(shí)賦β-范空間,f:Df=E→Rf()F,滿足f(0)=0是保距離相等的映射,即存在ψ:R0+→R0+使

10、得對任意的x,y∈E,有‖f(x)-f(y)‖=ψ(‖x-y‖).如果還滿足:(ⅰ)u,v∈Rf()1/2(u+v)∈Rf,2u-v∈Rf；(ⅱ)ψ(2βt)=2βψ(t),t≥0,0≤t1　　 在2.3節(jié)中,我們研究定義在Banach空間中限定區(qū)域上的保距離相等的映射的延拓問題,得到了一些有意義的結(jié)果.最重要的結(jié)果是,(見定

11、理2.3.1)設(shè)E是實(shí)賦范空間,F是嚴(yán)格凸賦范空間.B=B(a,r)={x∈E:‖x-a‖　　 在第三章,我們研究廣義的等距逼近問題,首先我們定義(k,ε

12、)-等距算子,以及k-等距算子,然后定義廣義的等距逼近問題.這樣的問題,始于兩年前,卻是很復(fù)雜,研究起來也很困難,我們得到的一些結(jié)果為:(1)(見定理3.3.1)B(l(3)∞,L1(μ))中不存在(k,ε)-等距算子,這里0≤ε<19-18k/18k+19.(2)(見定理3.3.2)B(l(2)∞,L1(μ))中不存在(k,ε)-等距算子滿足T((R)l(2)∞)()(R)L1(μ),這里0≤ε<2+3√2-(2√2-3)k/2+3√

13、2+(2√2+3)k.(3)(見定理3.3.3)如果E是無窮維ALp-空間(0　　 在后三章中,我們主要研究算子方程的穩(wěn)定性,穩(wěn)定性的問題是由S.M.Ulam于1940年提出,D.H.Hyers于1941年給出了第一個部分的解答.在近20年來,泛函方程的穩(wěn)定性研究已經(jīng)成為連續(xù)性研究的領(lǐng)域.但是大多數(shù)的工作涉及的空間是

14、Banach空間.本人感興趣的是在F-范(特別是賦β-范)空間中研究算子方程的穩(wěn)定性問題
　　 在第四章中,我們研究Pexiderized二次方程的正交穩(wěn)定性,主要的結(jié)果是定理4.2.1.
　　 在第五章中,我們在F-空間中研究特殊類型的二次方程:f(2x+y)+f(2x-y)=f(x+y)+f(x-y)+6f(x),解決了它的穩(wěn)定性問題,主要的結(jié)果是定理5.2.1.
　　 在第六章中,我們研究Jensen型的泛