對稱Hamilton系統(tǒng)中相對平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性研究及其應(yīng)用.pdf

1、對稱性是自然界中普遍存在的現(xiàn)象,具有對稱性的系統(tǒng)當(dāng)中蘊(yùn)含著某些重要的守恒性質(zhì)。對于一般的動力系統(tǒng),人們通?？紤]的是系統(tǒng)中平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,而對于具有對稱性的Hamilton系統(tǒng),相對平衡點(diǎn)成為人們研究的主要對象,因?yàn)樗窍嗫臻g中相對特殊的點(diǎn),即通過該點(diǎn)的軌跡恰好是一條群軌道,見定義3.2.1。在物理應(yīng)用中,唯一可觀測的平衡點(diǎn)是那些在小擾動下穩(wěn)定的點(diǎn),類似地,對稱Hamilton系統(tǒng)中唯一可觀測的相對平衡點(diǎn)也是那些在某些意義下穩(wěn)定的點(diǎn),也就

2、是下面介紹的Gμ-穩(wěn)定相對平衡點(diǎn),這也是經(jīng)典力學(xué)的一個核心問題。正是由于對稱性和哈密頓結(jié)構(gòu)的存在,對稱Hamilton系統(tǒng)中相對平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析顯得格外重要。自上世紀(jì)末以來,Marsden,Otega等人在這方面進(jìn)行了深入的研究,很多現(xiàn)代辛幾何和Poisson幾何的理論以及約化理論被廣泛的應(yīng)用到相對平衡點(diǎn)的穩(wěn)定分析當(dāng)中,產(chǎn)生了能量-開西米爾方法、能量-動量方法。隨后,這些方法被廣泛的應(yīng)用到剛體力學(xué)和流體動力學(xué)的穩(wěn)定性分析之中,并取得了

3、很多有價值的結(jié)果。 本文可以分為以下四個部分： 第一部分總結(jié)了動力系統(tǒng)中平衡點(diǎn)的各種穩(wěn)定性的定義及判別準(zhǔn)則,回顧了與對稱Hamilton系統(tǒng)有關(guān)的基礎(chǔ)概念,包括李群作用、標(biāo)準(zhǔn)動量映射,這為本文的研究奠定了基礎(chǔ)。 第二部分介紹了對稱系統(tǒng)的正則點(diǎn)約化理論,討論了正則相對平衡點(diǎn)穩(wěn)定性以及能量-動量方法、分塊對角化方法,并研究了能量-動量方法與能量-開西米爾方法之間的關(guān)系。 第三部分在第二部分的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了