隨機(jī)控制和對(duì)策理論中的一些倒向問(wèn)題.pdf

1、倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)主要關(guān)心在有隨機(jī)干擾的環(huán)境中如何使一個(gè)系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).其理論自創(chuàng)立以來(lái)，在隨機(jī)控制和對(duì)策，數(shù)理金融，偏微分方程，非線性數(shù)學(xué)期望等領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。 本文旨在發(fā)展和完善BSDE理論，以更好的研究隨機(jī)控制和對(duì)策中出現(xiàn)的倒向問(wèn)題。在隨機(jī)控制和對(duì)策問(wèn)題中，無(wú)論是用BSDE來(lái)描述代價(jià)(或者效用)泛函，還是用BSDE來(lái)描述控制系統(tǒng)，這些問(wèn)題的核心是BSDE理論.甚至BSDE本身也是一類(lèi)隨機(jī)控制問(wèn)題.因此，

2、BSDE理論的進(jìn)步和完善無(wú)疑會(huì)促進(jìn)一些控制和對(duì)策問(wèn)題的進(jìn)展。這篇論文的第二，三章致力于BSDE理論本身的研究。在第二章中，我們得到了BSDE理論的一個(gè)基礎(chǔ)性的結(jié)果：解的唯一性和連續(xù)依賴性是等價(jià)的.在BSDE的系數(shù)g滿足Lipschitz條件的前提下.BSDE的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性由下面的不等式所表達(dá)：由此推演出豐富多彩的成果.我們的結(jié)論在某種程度上可以看作上面不等式在非Lip-schitz條件下的對(duì)應(yīng)物，它為非Lipschitz條件下的

3、BSDE的研究提供了一個(gè)有力的工具。不同于(正向的)隨機(jī)微分方程，BSDE的解由兩個(gè)部分(Y，Z)組成.雖然目前關(guān)于BSDE的結(jié)論大部分集中在解的第一部分Y上，但是了解么同樣是非常重要的.這篇論文的第三章研究了相當(dāng)于控制策略的解的第二部分Z的一些基本性質(zhì)，例如有界性，倒向生存性，比較性質(zhì)等.Z在金融衍生產(chǎn)品定價(jià)理論中代表投資組合，我們的結(jié)論可以對(duì)投資組合中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值的正負(fù)，大小，區(qū)間有清晰的刻劃.作為Z的有界性質(zhì)的另一個(gè)應(yīng)用，我們處理

4、了一類(lèi)由Bensoussan和Frehsc [6]提出的隨機(jī)對(duì)策問(wèn)題。 在隨機(jī)控制理論中，有一類(lèi)指標(biāo)泛函是用BSDE的解來(lái)描述的.例如：在效用理論中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家使用BSDE的解來(lái)描述遞歸效用.為使效用最大化，產(chǎn)生了一類(lèi)遞歸最優(yōu)控制問(wèn)題.彭實(shí)戈在[59;74]中系統(tǒng)而深入的研究了這類(lèi)問(wèn)題.然而，在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)人們會(huì)要求自己的效用高于某條“底線”，也就是說(shuō).BSDE的解要大于等于某個(gè)隨機(jī)過(guò)程.這需要我們用反射BSDE的解來(lái)描述這種

5、帶障礙約束的遞歸效用.相應(yīng)的產(chǎn)生一類(lèi)帶障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問(wèn)題.在金融市場(chǎng)中.當(dāng)貸款利率高于存款利率時(shí)，美式未定權(quán)益的定價(jià)問(wèn)題是這類(lèi)控制問(wèn)題的一個(gè)具體的例子.在這篇論文的第四章，我們針對(duì)這類(lèi)帶障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到了動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理.并證明了值函數(shù)是相應(yīng)的HJB方程唯一的粘性解.這一部分工作深受彭實(shí)戈[74]的工作的啟發(fā). 由于BSDE是一類(lèi)具有良好結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，自然的，我們?nèi)パ芯恳訠SDE作為控制系統(tǒng)的隨機(jī)控制問(wèn)題

6、和對(duì)策問(wèn)題，我們稱之為倒向隨機(jī)控制問(wèn)題和倒向隨機(jī)對(duì)策問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題有實(shí)際的意義.在達(dá)到某個(gè)給定的隨機(jī)目標(biāo)的前提下，使自己的代價(jià)最小(或者效用最大)，這可以看作倒向隨機(jī)控制問(wèn)題.例如追擊問(wèn)題等.多個(gè)人合作去達(dá)到一個(gè)共同的隨機(jī)目標(biāo)，而每個(gè)人又希望自己付出的代價(jià)最小(或者自己獲得的效用最大)，這類(lèi)合作博弈可以看作倒向隨機(jī)對(duì)策問(wèn)題.目前，關(guān)于倒向隨機(jī)控制問(wèn)題的研究很少，而在本文之前，關(guān)于倒向隨機(jī)對(duì)策問(wèn)題的研究更是空白.在這篇論文的第五章，我們研

7、究了倒向隨機(jī)控制和對(duì)策(也研究推廣的部分耦合的正倒向情形)的一類(lèi)重要情形：線性二次問(wèn)題.得到了唯一的最優(yōu)控制(對(duì)于控制問(wèn)題)和唯一的Nash均衡點(diǎn)(對(duì)于對(duì)策問(wèn)題)的顯式表達(dá)，本文共分為五章： 第一章：介紹從第二章到第五章我們討論的問(wèn)題，背景及想法。 第二章：研究連續(xù)系數(shù)的BSDE解的唯一性和連續(xù)依賴性之間的等價(jià)關(guān)系.正如常微分方程的理論，這個(gè)性質(zhì)是BSDE理論中的一個(gè)基本的結(jié)論.這部分的主要結(jié)果足下面的定理2.2.1(簡(jiǎn)

8、單情況)和定理2.3.4(一般情況)。定理2.2.1.如果g滿足假設(shè)(H2.1)-(H2.3)，那么下面的兩種陳述是等價(jià)的.(i)唯一性:方程(2.1)的解唯一.(ii)關(guān)于ε的連續(xù)依賴性:任給{ζn}∞n=1，ζ∈L2(Ω,FT，P;R)，當(dāng)n→∞時(shí)，如果ζn→ζin L2(Ω,FT,P,R)，那么其中(yζ(·)，zζ(·))是BSDE(2.1)的任意的一個(gè)解，(yζn(·)，zζn(·))是BSDE(g：T，ζn) 的任意一個(gè)解.

9、定理2.3.4.如果gλ滿足假設(shè)（H2.1'）-（H2.4'），那么下面的陳述是等價(jià)的。 第三章：使用Malliavin分析的工具，我們研究BSDE的解的第二部分z的某些性質(zhì)，例如有界性，倒向隨機(jī)生存性(BSVP)，比較性質(zhì)。然后，我們將這些理論結(jié)果應(yīng)用到數(shù)理金融中.由于Z可以代表復(fù)制衍生產(chǎn)品價(jià)格的資產(chǎn)組合，利用我們得到的關(guān)于z的性質(zhì)，可以對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值的正負(fù)，大小，區(qū)間有清晰的刻劃。在這一章的最后，我們處理了一類(lèi)隨機(jī)非零和微分

10、對(duì)策問(wèn)題.這個(gè)對(duì)策問(wèn)題來(lái)源于Bcnsoussan和Frehsc[6]，但是他們利用偏微分方程的方法，只能夠處理Markovian情形.我們利用Malliavin變分技術(shù)和Z的有界性質(zhì)，在non-Markovian情形下得到了一個(gè)Nash均衡點(diǎn)的顯式表達(dá)，有很好的實(shí)際應(yīng)用意義.定理3.5.2.令假設(shè)（H3.2）-（H3.5)成立，u﹡=(u1﹡，…ui﹡…uN﹡)，其中u﹡由(3.57)式定義，是隨機(jī)非零和微分對(duì)策問(wèn)題的一個(gè)Nash均衡點(diǎn)

11、，Ji(x，u﹡)=Yi﹡(0)=Ji（xi，u2，-ui﹡)，其中ui是任意的容許控制μ的第i個(gè)分量(i=1，2，..N).(Yi﹡(·).Z﹡i(·))是BSDEs(3.56)的一個(gè)解。 第四章：我們研究了一類(lèi)帶有障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問(wèn)題，即，控制系統(tǒng)的效用泛函由一個(gè)反射BSDE(帶一個(gè)下反射邊界)所描述.具體來(lái)說(shuō)，我們考慮下面的控制系統(tǒng)：這類(lèi)遞歸最優(yōu)控制問(wèn)題在金融市場(chǎng)中有應(yīng)用.在借貸款利率不同的時(shí)候，美式衍生證券定價(jià)問(wèn)題

12、就可以轉(zhuǎn)化為該類(lèi)帶有障礙約束的遞歸最優(yōu)控制問(wèn)題.一個(gè)直觀的問(wèn)題是：對(duì)于該類(lèi)最優(yōu)化問(wèn)題，經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理是否成立?我們證明了一些反射BSDE的性質(zhì)，使用彭實(shí)戈[74]的思想和框架，借助于這些性質(zhì)和分析技巧，我們得到了值函數(shù)的確定性和連續(xù)性，證明了推廣的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理(DPP)對(duì)該類(lèi)問(wèn)題依然成立。命題4.2.6.(確定性)令假設(shè).（H4.2.1)-(H4.2.4) 成立，由(4.10) 定義的值函數(shù)u(t，x)是一個(gè)確定的過(guò)程。引理4.2.

13、8.(關(guān)于x的連續(xù)性)任給t∈[0，T]，x，x′，∈Rn，我們有(i)|u(t,x)-u(t,x′)|2≤C|x-x′|2+C(1+|x|+|x′|)|x-x′|；我們將這個(gè)對(duì)策問(wèn)題和一個(gè)線性的初始端耦合的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDE)聯(lián)系起來(lái).使用“連續(xù)化方法”，我們得到這類(lèi)初始端耦合的FBSDE解的存在唯一性結(jié)果。定理5.1.3.令假設(shè)(H5.1.1)(H5.1.3)成立.FBSDE(5.1)存在唯一一個(gè)適應(yīng)解(X，Y, Z)。