微觀凸性原理及其幾何應用.pdf

1、解的凸性是偏微分方程和幾何分析研究中的一個重要課題，其主要研究方法分為宏觀方法和微觀方法．對于一般橢圓和拋物方程，我們自然地想研究其解的相關凸性，例如解的凸性和解的水平集的凸性．建立相應的常秩定理則是微觀凸性方法的關鍵．然而，相對一般橢圓方程，其微觀凸性已經(jīng)有了系統(tǒng)的研究，本文則針對一般拋物方程解的微觀凸性給出系統(tǒng)的研究，利用強極值原理建立相應的常秩定理，并且給出一些幾何和分析上的應用．本文的主要結(jié)果列舉如下，
　　 水平集的凸

2、性是很重要的一種凸性，我們考慮拋物方程的（空間）擬凹解的凸性，進而得到其微觀凸性原理．
　　 定理0.1.設u∈C3,1(Ω×[0,T])為如下拋物方程的空間擬凹解
　　 (e)u/(e)t=F(▽2u,▽u,u,t)inΩ×(0，T]，(1)并且存在某個常數(shù)γ0＞0和c0＞0，使得對任意(x，t)∈Ω×[0，T都有(▽2u(x,t),▽u(x,t),u(x,t))∈Λ×(R)n×(-γ0+c0，γ0+c0)，▽u≠0.

3、若F滿足結(jié)構(gòu)條件
　　 F(s2A，sθ，u，t)關于(A，s)是局部凹的．(2)其中（θ，u）∈(S)n-1×(R).若對任意c∈(-γ0+c0，γ0+c0)空間（上）水平集{x∈Ω|u(x,t)≥c}是連通、局部凸的．則對任意c∈(-γ0+c0，γ0+c0)水平集{x∈Ω|u(x，t)=c}的第二基本形式在Ω上的秩是常數(shù)，進一步，設t時刻水平集的第二基本形式在Ω上的極小秩為l(t)，則對任意0＜s≤t≤T有l(wèi)(s)≤l(t)

4、．
　　 作為應用，我們考慮凸環(huán)上的拋物方程的（空間）擬凹解，得到空間水平集的主曲率的下界估計如下
　　 定理0.2．假設u∈C3,1(Ω×[0,T])是如下拋物方程的空間擬凹解，
　　 {(e)u/(e)t=F(▽2u,▽u,u,t)inΩ×(0，T]，u(x,0)=u0(x)inΩ，(3)u(x,t)=0on(e)Ω0×(0,T]，u(X，t)=1on(e)Ω1×(0,T]，其中u0滿足一定的相容性條件(見(

5、4.46))，▽u≠0，并且F滿足結(jié)構(gòu)條件
　　 F(s2A，sθ，u，t)關于(A，s)是局部凹的．(4)其中(θ，u)∈(S)n-1×(R).則
　　 κu(x,t)≥min{κ0,κ1e-A}eAu(x,t)(5)其中κu(x,t)的定義為(4.47)，常數(shù)A依賴于||F||C2,n，λmin(x,t)∈Ω×[0，T]|▽u|,||u||C3．進一步，若“=”在某點(x，t)成立，其中u(x，t)∈(0，1)，則“

6、=”在Ω上恒成立，
　　 時空凸性也是一種很有意思的凸性，我們得到關于時空凸解的微觀凸性原理如下
　　 定理0.3．設Ω是(R)n中的一個區(qū)域，F(xiàn)=F(A，p，u，x，t)∈C2，1(Sn+×(R)n×(R)×Ω×(0，T])，u∈C2，1（Ω×（0，T]）為拋物方程
　　 (e)u/(e)t=F(D2u,Du,u,x,t),(x,t)∈Ω×(0，T]，(6)的時空凸解，并且F滿足結(jié)構(gòu)條件
　　 F(A-

7、1，p，u，x，t)關于(A，u，x，t)局部凸．(7)則對任意固定的時間t∈(0，T]，時空Hessian矩陣∧D2u在Ω上保持常秩.進一步，令l(t)為t時刻的時空Hessian矩陣∧D2u在Ω上的極小秩,則對任意0＜s≤t≤T有l(wèi)(s)≤l(t)．
　　 特別地，如果時空凸解的空間Hessian矩陣是嚴格正定的，我們在更弱的結(jié)構(gòu)條件下得到如下常秩定理
　　 定理0.4．設Ω為(R)n中一個鄰域，F(xiàn)=F(A，p，u，

8、x，t)∈C2，1(Sn+×(R)n×(R)×Ω×(0，T])，u為拋物方程
　　 (e)u/(e)t=F(D2u,Du,u,x,t),(x,t)∈Ω×(0，T]，(8)的時空凸解并且關于空間變量嚴格凸，即
　　 D2u＞0,∧D2u≥0,(V)(x,t)∈Ω×(0,T].(9)并且F滿足結(jié)構(gòu)條件
　　 對任意常數(shù)c，{(A，u，x，t)∶F(A-1，p，u，x，t)≤c}是凸的．(10)若∧D2u在某點(x0，

9、t0)∈Ω×(0，T]達到極小秩n,則∧D2u在Ω×(0，t0]保持常秩n．
　　 對平均曲率流，我們得到關于時空第二基本形式的常秩定理如下定理0.5．設M(t)∈Rn+1(t∈[0，T))為緊超曲面，并且為如下平均曲率流的解
　　 Xt=-H→n(11)若M(t)是時空凸的，即時空第二基本形式
　　 ∧h=（hijHiHjHt）在M×[0,T）上半正定，則存在時間t0∈[0，T），使得M(t)在（0，t0]是嚴