2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、算子理論產(chǎn)生于20世紀初,由于其在數(shù)學和其它學科中的廣泛應用,在20世紀的前三十年得到迅速發(fā)展,近年來Shorted算子與Schur補的研究已成為算子理論研究的熱點問題之一.設H表示無窮維復可分Hilbert空間,我們用B(H)<'+>表示H上的所有有界線性正算子全體。設A∈B(H)<'+>,S是H的一個閉子空間,則算子A關于S的shorted算子定義為∑(s,A)=max{X ∈B(H)<'+>:X≤A且R(X) S},這里的最大值是

2、在偏序集(B(H),≥)中取得的.對于正算子A與子空間S,設P(A,S)為這里P表示所有冪等算子全體.若集合P(A,S)是非空的則我們稱元素對(A,S)是匹配的。本文研究內(nèi)容涉及Shorted算子的幾何結(jié)構(gòu)、元素對(A,S)的匹配性、正算子的下確界及算子方程的正解問題.在Shorted算子方面,對于給定的A∈B(H)<'+>,S H,得到了∑(S,A)的幾何結(jié)構(gòu)及元素對(A,S)匹配的充要條件.效應代數(shù)方面,Hilbert空間上兩個效應

3、的下確界問題是確定在何種條件下效應A和B∈ε(H)的下確界A∧B存在。本文把兩個效應的下確界問題推廣到兩個正算子的下確界問題,對任意的A,B∈B(H)<'+>,得到了下確界A∧B存在的充要條件。在算子方程方面,首先對列算子矩陣的條件下,得到了其Moore-Penrose廣義逆的表達形式,其次對于無限維Hilbert空間上的算子方程AY=C的正解問題進行了研究,得出了算子方程AX=C有正解的等價條件及正解的通式。 本文共分四章:

4、 第一章主要介紹本文要用到的一些符號、概念及定理,例如正算子譜,Shorted算子,匹配性,下確界等概念;同時又介紹了一些熟知的定理如值域包含定理,譜映射定理等。 第二章我們主要運用算子分塊矩陣的技巧來研究Shorted算子,揭示了任意一個正算子A與它的Shorted算子∑(S,A)的幾何結(jié)構(gòu)關系。其次,我們刻畫了(A,S)的匹配性,這里A是一個自伴算子,S是H的一個閉子空間;特別地,當A是正算子時對集合P(A,5)={Q

5、∈P:R(Q)=s,AQ=Q<'*>A}從算子幾何結(jié)構(gòu)方面給出了詳細刻畫,這里的P表示Hilbert空間H上所有冪等算子全體,S 表示子空間S在H中的正交補空間。 第三章在無限維Hilbert空間上,利用Shorted算子來研究兩個正算子A,B ∈B(H)<'+>的下確界問題,得到了下確界A∧B存在的充要條件。主要結(jié)論如下: (1)設A∈B(H)<'+>,P是到閉子空間S上的正交投影,則P∧A存在當且僅當σ(∑(S,A)

6、) {0}∪[1,||A||]或σ(∑(S,A)) [0,1]。 (2)設A,B∈B(H)<'+>則正算子A,B的下確界A∧B存在當且僅當∑(S<,0>,A)與∑(S<,0>,B)是可比較的,這里S<,0>=R(A)∩R(B)。 第四章我們首先研究了列算子矩陣在R(A<,1><'*>)∩R(A<,2><'*>)={0}的條件下的Moore-Penrose逆的表達形式;然后探討了算子方程AX=C有自伴解和正解的條件,分別得

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