若干線性算子與微分從屬在幾何函數(shù)論中的應(yīng)用.pdf

1、幾何函數(shù)論是經(jīng)典復(fù)分析一個(gè)重要且富含成果的分支，主要研究各類解析函數(shù)的幾何性質(zhì).它在許多重要的數(shù)學(xué)分支及其它學(xué)科領(lǐng)域有著廣泛地應(yīng)用，并且一些新的應(yīng)用不斷呈現(xiàn).需特別強(qiáng)調(diào)的是，與幾何函數(shù)論相關(guān)的一項(xiàng)令人興奮的新進(jìn)展是Schramm-Loewner Evolution(SLE)的產(chǎn)生.1999年，結(jié)合單葉函數(shù)理論中的Loewner微分方程與隨機(jī)分析，Oded Schramm建立了帶一個(gè)參數(shù)的SLE的定義.SLE可以被認(rèn)為是共形映射空間上的B

2、rownian運(yùn)動(dòng)，它不僅在數(shù)學(xué)而且在統(tǒng)計(jì)物理中有著重要的應(yīng)用.此外，最近，隨著解析函數(shù)空間上的線性算子和解析函數(shù)的微分從屬技術(shù)的應(yīng)用，幾何函數(shù)論本身獲得了迅速地發(fā)展.借助于線性算子與微分從屬，最近人們在幾何函數(shù)論中獲得了關(guān)于系數(shù)估計(jì)、極值點(diǎn)與閉凸包、星像性與單葉性準(zhǔn)則、包含關(guān)系、從屬保持等大量的漂亮結(jié)果，這正表明性線算子與微分從屬成為這一領(lǐng)域研究中越來越有力及有效的工具.
　　 眾所周知，微分從屬與微分不等式有著密切的聯(lián)系，而

3、大量重要的解析函數(shù)族都是由微分不等式來定義.在本篇博士論文中，通過應(yīng)用線性算子與微分從屬技術(shù)，我們主要考慮與研究某些解析函數(shù)族的一些新的、有趣的性質(zhì).全文由如下七章組成.
　　 第一章是緒論，簡要地介紹了幾何函數(shù)論的歷史背景、研究內(nèi)容、近期的發(fā)展?fàn)顩r以及本文所做的主要工作和創(chuàng)新點(diǎn).
　　 第二章中，我們引進(jìn)了幾類線性算子，結(jié)合四類經(jīng)典的解析函數(shù)族的定義與Jung-Kim-Srivastava算子，我們定義了四類新的函數(shù)族

4、.通過應(yīng)用Miller-Mocanu引理，我們獲得了這些函數(shù)族各自的包含關(guān)系.作為應(yīng)用，獲得了與Bernardi積分算子相聯(lián)系的對應(yīng)結(jié)論.
　　 第三章中，應(yīng)用卷積和Noor算子定義的方法，借助亞純函數(shù)空間上的算子Dn，我們定義了一類新的積分算子Ln，μ.結(jié)合四類經(jīng)典的亞純函數(shù)與新算子Ln，μ，我們定義了四類新的亞純函數(shù)族.通過應(yīng)用Miller-Mocanu引理，我們得到了這些函數(shù)族的包含關(guān)系.此外，應(yīng)用Jack引理，我們得到了

5、積分算子Jc的一些積分保持性質(zhì).
　　 第四章中，我們研究了幾類n-折對稱函數(shù)特殊的子族，如關(guān)于n-折對稱點(diǎn)的星像、凸像、α凸像以及α擬凸函數(shù)族.其中α擬凸函數(shù)族是我們首次定義的新函數(shù)族.在這一章中，我們獲得了這些函數(shù)族的一些有趣性質(zhì).首先，對關(guān)于n-折對稱點(diǎn)的星像與凸像函數(shù)，給出了包含關(guān)系、積分表示、卷積條件、增長定理、覆蓋定理與偏差定理.其次，對關(guān)于n-折對稱點(diǎn)的α凸像與α擬凸函數(shù)，我們獲得了包含關(guān)系、積分表示、卷積條件以及

6、積分性質(zhì).
　　 第五章中，我們引進(jìn)了一類新的函數(shù)表達(dá)式并考慮了與其相關(guān)的微分不等式及一階微分從屬.應(yīng)用Miller-Mocanu引理和一個(gè)非常有用的微分從屬定理，我們獲得了星像性與強(qiáng)星像性的一些充分條件.
　　 第六章中，利用Srivastava-Attiya算子，我們定義了兩類新的K-折對稱函數(shù)族的子族.通過應(yīng)用Herglotz’s公式及卷積技術(shù)，我們得到了兩類函數(shù)族的積分表達(dá)式及相關(guān)的從屬結(jié)論；另外，通過應(yīng)用Bri