函數(shù)空間算子與算子代數(shù)問(wèn)題.pdf

1、函數(shù)空間上的算子理論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，它與量子力學(xué)，微分幾何，線性系統(tǒng)和控制理論，甚至數(shù)論等學(xué)科都有著出入意料的聯(lián)系和相互滲透，已經(jīng)越來(lái)越受到人們的重視，現(xiàn)在已經(jīng)形成了一整套系統(tǒng)的理論體系[1，2，3]。 復(fù)合算子的產(chǎn)生是函數(shù)論與算子理論相結(jié)合的產(chǎn)物，是利用經(jīng)典函數(shù)論中的結(jié)論和方法探討線性算子理論中的一些最基本的問(wèn)題，同時(shí)也利用算子理論作為工具研究函數(shù)空間的經(jīng)典問(wèn)題．設(shè)F是定義在復(fù)平面C中單位圓盤D上的解析函數(shù)空間，如果

2、是D的解析自映射，則通過(guò)函數(shù)復(fù)合，線性算子則稱 是由 導(dǎo)出的F上的復(fù)合算子．函數(shù)的復(fù)合是函數(shù)空間的一種基本運(yùn)算，在數(shù)學(xué)的各分支上均有重要應(yīng)用，如L<,p>空間上的復(fù)合算子與遍歷理論密切相關(guān)；在乘法算子和更一般算子的交換子研究中也涉及復(fù)合算子。 上個(gè)世紀(jì)末，一些有關(guān)復(fù)合算子的專著相繼出版(如[4]、[5]和[6])，對(duì)復(fù)合算子的研究越來(lái)越受到關(guān)注．對(duì)于復(fù)合算子的研究人們主要從算子以下方面進(jìn)行：緊性，收斂性，有界性，范數(shù)，譜性質(zhì)，不

3、變子空間，Schatten類，循環(huán)性，代數(shù)陛質(zhì)(正規(guī)性等)，加權(quán)復(fù)合算子及復(fù)合算子產(chǎn)生的C<'*>-代數(shù)等．同時(shí)人們還推廣到不同的函數(shù)空間，如Bergman空間，Dirichlet空間，Besove空間，Orlicz空間，Hardy-Orlicz空間等角度去刻畫各類復(fù)合算子的性質(zhì)．顯然，不同的函數(shù)空間復(fù)合算子的性質(zhì)也不盡相同，有關(guān)復(fù)合算子理論還有相當(dāng)多的問(wèn)題亟待解決。 本文第二章主要研究高維Dirichlet空間上超循環(huán)復(fù)合算子

4、問(wèn)題．眾所周知，如果是單位圓盤的自同構(gòu)，且在圓盤內(nèi)沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，那么C是超循環(huán)的．而單變量的Dirichlet空間上不存在超循環(huán)復(fù)合算子，我們運(yùn)用超循環(huán)準(zhǔn)則證明了在高維Dirichlet空間上，仍然有超循環(huán)復(fù)合算子存在。 本文第三章主要討論復(fù)平面內(nèi)單位圓上的加標(biāo)準(zhǔn)權(quán)Bergman-orlicz空間的性質(zhì)，包含關(guān)系，其上復(fù)合算子的相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)證明了對(duì)于任意的解析自映射 都不是超循環(huán)算子． 在高維函數(shù)空間上，許多重要問(wèn)題

5、往往與算子矩陣或算子組有關(guān)．例如，在此情形下，研究指標(biāo)問(wèn)題的合適對(duì)象是算子矩陣或算子組，又如高維皇冠問(wèn)題可以轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的算子聯(lián)合譜問(wèn)題．算子組理論產(chǎn)生于二十世紀(jì)70年代，人們?cè)谘芯拷粨Q算子組及Banach代數(shù)(或C<'*>-代數(shù))中多個(gè)交換元情形時(shí)就定義了各種類型的聯(lián)合譜，這些概念對(duì)于研究算子代數(shù)特別是交換算子代數(shù)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)起到了很大作用．然而，對(duì)于非交換C*-代數(shù)多個(gè)非交換元情形，情況要比交換代數(shù)時(shí)復(fù)雜很多，非交換代數(shù)上可能不存在乘

6、法線性泛函，此時(shí)常用的方式是研究這些代數(shù)上的態(tài)或純態(tài)。記A是有單位元的C*-代數(shù)，如f是A上的有界線性泛函，且‖f‖=f(e)=1，則稱f為A上的態(tài)．記 s(A)=｛f∈∈A*｜F是A上的態(tài)。｝S(A)的端點(diǎn)則稱為A的一個(gè)純態(tài)．本文第四章主要在非交換C*-代數(shù)情形下，研究了其譜和純態(tài)值域，得到了C*-代數(shù)張量積中兩個(gè)元的本質(zhì)純態(tài)值域的表示。 Hilbert空間上交換算子組的張量積早已為人們所研究，特別是其聯(lián)合譜的研究涉及到

7、偏微分方程的有關(guān)理論．Banach空間情形，相關(guān)問(wèn)題要復(fù)雜許多[7]。交換算子組的聯(lián)合譜與算子方程有一定聯(lián)系，有時(shí)，初等算子的譜可用聯(lián)合譜來(lái)表示([8])。早在1978年，F(xiàn).H.Vasilescu就研究了交換算子張量積的聯(lián)合譜，他證明了Sp(T 1，1 S)=Sp(T)×Sp(S)，其中T,S分別是Hilbert空間H,K上的交換算子組，Sp(T,A)={λ∈C<;n>｜T-λ是不可逆組｝是T相對(duì)于A的Taylor聯(lián)合譜．V.Wro