生態(tài)系統(tǒng)中的非線性擴(kuò)散問題.pdf

1、1920年，A．J．Lotka與意大利數(shù)學(xué)家V．Volterra首先利用非線性微分方程理論對種群動(dòng)力系統(tǒng)做出了定性描述．1930年，F(xiàn)ishe將擴(kuò)散現(xiàn)象引入種群遺傳學(xué)中以描述種群在空間的擴(kuò)散現(xiàn)象，1950年初Skenaln等將擴(kuò)散引入到種群動(dòng)力系統(tǒng)中，Takeuchi．Y．1989年和1990年又考慮一般的單種群擴(kuò)散自治系統(tǒng)，崔景安先生又定義了“斑塊種群”引起了對此類問題研究的熱潮．此后，等多的學(xué)者加入到對這個(gè)問題研究中．這些研究中絕大

2、多數(shù)是以線性擴(kuò)散為基礎(chǔ)的，國內(nèi)外有關(guān)非線性擴(kuò)散的研究并不多見．本文以非線性擴(kuò)散為中心，著重研究了幾類三維非線性擴(kuò)散生態(tài)系統(tǒng)，得到了一些有益的結(jié)果． 從內(nèi)容構(gòu)成方面文章共分四個(gè)部分：緒論部分，理論部分，模型部分與總結(jié)部分． 首先，在緒論部分(第1章)，介紹了“斑塊種群”動(dòng)力學(xué)與擴(kuò)散系統(tǒng)的研究歷史與現(xiàn)狀，簡要總結(jié)了有關(guān)此類問題的研究發(fā)展?fàn)顩r．并按照本文的順序聯(lián)系的對全文所涉及到的內(nèi)容進(jìn)行了介紹． 其次，在理論部分(見

3、第2章)，結(jié)合常用的中心流形理論[8]以及對張興安與陳蘭蓀在文獻(xiàn)[4]中針對某一具體系統(tǒng)提出的降維方法的總結(jié)，作者首先提出了一類線性部分為單位矩陣的高維多項(xiàng)式系統(tǒng)(2.2)降維方法；接著將上述降維方法作出適當(dāng)?shù)耐茝V，放寬了“線性部分為單位矩陣”這一要求，得出了一類線性部分為對角矩陣的高維二次多項(xiàng)式系統(tǒng)(2.8)的降維方法；最后，在系統(tǒng)次數(shù)方面又進(jìn)行了推廣，得出了一類線性部分為對角矩陣的高維高次多項(xiàng)式系統(tǒng)(2.16)的降維方法．有趣的是，

4、在對上述三類系統(tǒng)的后面兩類系統(tǒng)進(jìn)行降維的過程中，發(fā)現(xiàn)如果這兩類系統(tǒng)分別滿足一定條件，那么它們均可以降至一維(見推論2.1，推論2.2)． 接著，模型部分包括第3章，第4章，第5章以及第6章，一共討論了六個(gè)不同的具有一定生態(tài)意義的系統(tǒng)．其中包括一類非線性擴(kuò)散Lotka—Volterra競爭系統(tǒng)，兩類非線性擴(kuò)散Lotka—Volterra捕食系統(tǒng)，一類具有Holling—Ⅱ功能反映函數(shù)的非線性擴(kuò)散Lotka—Volterra捕食系統(tǒng)

5、，以及具有Leslie數(shù)量反映函數(shù)的非線性捕食系統(tǒng)，和具有Leslie數(shù)量反映函數(shù)與Holling—Ⅱ功能反映函數(shù)的非線性捕食時(shí)滯系統(tǒng)．在具體的討論過程中，以非線性擴(kuò)散項(xiàng)為基礎(chǔ)出發(fā)，討論了上述六類系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)的存在性，局部漸近穩(wěn)定性，全局漸近穩(wěn)定性，以及部分系統(tǒng)的Hopf分支問題． 最后，總結(jié)部分為第7章．在這一章中，不僅總結(jié)了模型部分所討論的六類系統(tǒng)的具體生物意義，并且把這六類具有非線性擴(kuò)散項(xiàng)的系統(tǒng)與那些和它們相對應(yīng)的不具有