高斯整數(shù)環(huán)素元及其商環(huán)性質(zhì)的研究.pdf

1、高斯整數(shù)環(huán)是很典型且構(gòu)造特殊的一類環(huán)，在環(huán)論中占很重要的地位，基于其重要的地位和價(jià)值，既融入環(huán)論的思想，同時(shí)又有數(shù)論的思想貫穿其中，數(shù)學(xué)家、國(guó)內(nèi)外學(xué)者們得出了一些有重要意義的理論結(jié)果。筆者鑒于前人的研究思路和研究方法，在高斯整數(shù)環(huán)研究的理論基礎(chǔ)上尋找新的方法，在前人得到的部分成果及基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步拓展研究。本課題針對(duì)高斯整數(shù)環(huán)素元的形式及高斯整數(shù)環(huán)商環(huán)性質(zhì)進(jìn)行了深入研究和部分的創(chuàng)新： 1.對(duì)高斯整數(shù)環(huán)的基本性質(zhì)進(jìn)行分析和證明，詳

2、細(xì)論證了高斯整數(shù)環(huán)是歐氏環(huán)，高斯整數(shù)環(huán)是主理想環(huán)，高斯整數(shù)環(huán)是唯一分解環(huán)。 2.討論了高斯整數(shù)環(huán)素元的形式，給出了一些整數(shù)素元的表達(dá)形式和一些非整數(shù)素元的表達(dá)形式，并且給出了高斯整數(shù)環(huán)的幾種非素元的表達(dá)形式，且證明給出高斯整數(shù)環(huán)中單位的形式。 3.詳細(xì)討論證明了當(dāng)主理想不同情況下高斯商環(huán)元的個(gè)數(shù)的情況，并且利用中的中國(guó)剩余定理和環(huán)論相結(jié)合的方法以及同余的方法分別證明了的猜想［9］(I)：當(dāng)主理想ⅣN=(m+ni)時(shí)，Z[