2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、Gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究王小娟(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系031114328)摘要摘要:本文給出了Gauss整數(shù)環(huán)的若干性質(zhì)并用一種新的初等方法解決了文獻(xiàn)[1]中提出的一個(gè)猜想:Gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個(gè)數(shù)是.[]()Zinmi?22mn?關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:Gauss整數(shù)環(huán)商環(huán)素元主理想單位ResearchthePrincipalIdealQuotientRingofGaussianIntegralDomainW

2、angxiaojuan(DepartmentofMathematicsXiaoganUniversity031114328)Abstract:ThispapergivessomeprotertiesofGaussianintegraldomainprovesthetwoconjectuiresofArch.[1]withanewelementarymethod.InlightoftheGaussianintegraldomainthen

3、umberofelementsofitsringofquotientsis.22mn?Keywds:Gaussianintegraldomainquotientringprimeelementprincipalidealunit.1介紹介紹在文獻(xiàn)[1]中提出兩個(gè)猜想:(1)Gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個(gè)數(shù)是[]()Zinmi?(2)對(duì)于顯然為素元問(wèn)形式的素元是否為無(wú)窮多.22mn?[]()Zini?12ii??ni?文獻(xiàn)[1]證明了:對(duì)(

4、或)以及但任意(或但任意)的情形0m?0n?1m?n1n?m有的元素個(gè)數(shù)恰為22mn?.近期有關(guān)Gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)所含元[]()Zinmi?[]()Zinmi?素的個(gè)數(shù)文獻(xiàn)都討論了這個(gè)問(wèn)題并得到了很好的結(jié)果即︱︱=[12]?[]()Zinmi?22mn?其中表示由所生成的主理想.本文以一種新的初等的方法()nmi?nmi?,或,或,或10xy?????10xy??????01xy?????01xy??????即的單位(可逆元)是.[

5、]Zi11ii??命題2是歐氏環(huán)因而是主理想環(huán)和唯一分解環(huán)[]Zi證明見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中.命題3[4]中的素元當(dāng)且僅當(dāng)是不可約元。[]Zi證明設(shè)為中的不可約元,并有(),由命題2知:?[]Zi???[]Zi???,使得()()????令1212[]Zi???????????因?yàn)?是Z[i]的不可[]Zi???約元,故1??中必有一個(gè)是單位。若1?是單位,則11121()???????????即??若?是單位,由()()????故可設(shè)3434

6、[]Zi??????????,于是11241??????????則1124?????????????,由于?|??及?|??,所以?|?因此?是中的素元。[]Zi反之,設(shè)?是z[i]的素元,若????則有?|?或?|?不妨設(shè)?|?,可設(shè)????[]Zi??故()????????,由是無(wú)零因子環(huán),所以有1???,即得[]Zi?是單位,故?是不可約的。命題設(shè)[]Zi??,如果()N?是z中的素?cái)?shù),則?是Z[i]的素元;若[4]4?是Z[i]

7、中的素元?jiǎng)t?也是中的素元。[]Zi證明設(shè)[]abiZi????由22()Nab???是Z[i]中的素?cái)?shù),若?是Z[i]中的可約元,可設(shè)1212???????均不是Z[i]中的單位,由1212()()()()()NNNNN??????均不為1,與()N?是Z[i]中的素?cái)?shù)矛盾,所以?是Z[i]中的不可約元,由命題3知?是z[i]中的素元。設(shè)12121212()()bbibbicciddi????????,則12121212()()()()

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