數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究王小娟

1、Gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究王小娟(孝感學院數(shù)學系031114328)摘要摘要:本文給出了Gauss整數(shù)環(huán)的若干性質(zhì)并用一種新的初等方法解決了文獻[1]中提出的一個猜想:Gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個數(shù)是.[]()Zinmi?22mn?關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:Gauss整數(shù)環(huán)商環(huán)素元主理想單位ResearchthePrincipalIdealQuotientRingofGaussianIntegralDomainW

2、angxiaojuan(DepartmentofMathematicsXiaoganUniversity031114328)Abstract:ThispapergivessomeprotertiesofGaussianintegraldomainprovesthetwoconjectuiresofArch.[1]withanewelementarymethod.InlightoftheGaussianintegraldomainthen

3、umberofelementsofitsringofquotientsis.22mn?Keywds:Gaussianintegraldomainquotientringprimeelementprincipalidealunit.1介紹介紹在文獻[1]中提出兩個猜想:(1)Gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個數(shù)是[]()Zinmi?(2)對于顯然為素元問形式的素元是否為無窮多.22mn?[]()Zini?12ii??ni?文獻[1]證明了:對(

4、或)以及但任意(或但任意)的情形0m?0n?1m?n1n?m有的元素個數(shù)恰為22mn?.近期有關(guān)Gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)所含元[]()Zinmi?[]()Zinmi?素的個數(shù)文獻都討論了這個問題并得到了很好的結(jié)果即︱︱=[12]?[]()Zinmi?22mn?其中表示由所生成的主理想.本文以一種新的初等的方法()nmi?nmi?，或，或，或10xy?????10xy??????01xy?????01xy??????即的單位(可逆元)是.[

5、]Zi11ii??命題2是歐氏環(huán)因而是主理想環(huán)和唯一分解環(huán)[]Zi證明見文獻[3]中.命題3[4]中的素元當且僅當是不可約元。[]Zi證明設(shè)為中的不可約元，并有（），由命題2知：?[]Zi???[]Zi???，使得()()????令1212[]Zi???????????因為?是Z[i]的不可[]Zi???約元，故1??中必有一個是單位。若1?是單位，則11121()???????????即??若?是單位，由()()????故可設(shè)3434

6、[]Zi??????????，于是11241??????????則1124?????????????，由于?|??及?|??，所以?|?因此?是中的素元。[]Zi反之，設(shè)?是z[i]的素元，若????則有?|?或?|?不妨設(shè)?|?，可設(shè)????[]Zi??故()????????，由是無零因子環(huán)，所以有1???，即得[]Zi?是單位，故?是不可約的。命題設(shè)[]Zi??，如果()N?是z中的素數(shù)，則?是Z[i]的素元；若[4]4?是Z[i]

7、中的素元則?也是中的素元。[]Zi證明設(shè)[]abiZi????由22()Nab???是Z[i]中的素數(shù)，若?是Z[i]中的可約元，可設(shè)1212???????均不是Z[i]中的單位，由1212()()()()()NNNNN??????均不為1，與()N?是Z[i]中的素數(shù)矛盾，所以?是Z[i]中的不可約元，由命題3知?是z[i]中的素元。設(shè)12121212()()bbibbicciddi????????，則12121212()()()()