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
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文檔簡介
1、Gauss整數環(huán)的主理想及其商環(huán)研究整數環(huán)的主理想及其商環(huán)研究王小娟(孝感學院數學系031114328)摘要摘要:本文給出了Gauss整數環(huán)的若干性質并用一種新的初等方法解決了文獻[1]中提出的一個猜想:Gauss整數環(huán)的商環(huán)元素個數是.[]()Zinmi?22mn?關鍵詞關鍵詞:Gauss整數環(huán)商環(huán)素元主理想單位ResearchthePrincipalIdealQuotientRingofGaussianIntegralDomainW
2、angxiaojuan(DepartmentofMathematicsXiaoganUniversity031114328)Abstract:ThispapergivessomeprotertiesofGaussianintegraldomainprovesthetwoconjectuiresofArch.[1]withanewelementarymethod.InlightoftheGaussianintegraldomainthen
3、umberofelementsofitsringofquotientsis.22mn?Keywds:Gaussianintegraldomainquotientringprimeelementprincipalidealunit.1介紹介紹在文獻[1]中提出兩個猜想:(1)Gauss整數環(huán)的商環(huán)元素個數是[]()Zinmi?(2)對于顯然為素元問形式的素元是否為無窮多.22mn?[]()Zini?12ii??ni?文獻[1]證明了:對(
4、或)以及但任意(或但任意)的情形0m?0n?1m?n1n?m有的元素個數恰為22mn?.近期有關Gauss整數環(huán)的商環(huán)所含元[]()Zinmi?[]()Zinmi?素的個數文獻都討論了這個問題并得到了很好的結果即︱︱=[12]?[]()Zinmi?22mn?其中表示由所生成的主理想.本文以一種新的初等的方法()nmi?nmi?,或,或,或10xy?????10xy??????01xy?????01xy??????即的單位(可逆元)是.[
5、]Zi11ii??命題2是歐氏環(huán)因而是主理想環(huán)和唯一分解環(huán)[]Zi證明見文獻[3]中.命題3[4]中的素元當且僅當是不可約元。[]Zi證明設為中的不可約元,并有(),由命題2知:?[]Zi???[]Zi???,使得()()????令1212[]Zi???????????因為?是Z[i]的不可[]Zi???約元,故1??中必有一個是單位。若1?是單位,則11121()???????????即??若?是單位,由()()????故可設3434
6、[]Zi??????????,于是11241??????????則1124?????????????,由于?|??及?|??,所以?|?因此?是中的素元。[]Zi反之,設?是z[i]的素元,若????則有?|?或?|?不妨設?|?,可設????[]Zi??故()????????,由是無零因子環(huán),所以有1???,即得[]Zi?是單位,故?是不可約的。命題設[]Zi??,如果()N?是z中的素數,則?是Z[i]的素元;若[4]4?是Z[i]
7、中的素元則?也是中的素元。[]Zi證明設[]abiZi????由22()Nab???是Z[i]中的素數,若?是Z[i]中的可約元,可設1212???????均不是Z[i]中的單位,由1212()()()()()NNNNN??????均不為1,與()N?是Z[i]中的素數矛盾,所以?是Z[i]中的不可約元,由命題3知?是z[i]中的素元。設12121212()()bbibbicciddi????????,則12121212()()()()
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