冪等元在環(huán)論中的一些應(yīng)用.pdf

1、Exchange環(huán)是Warfield教授在1972年介紹的，并證明了一個很深刻的結(jié)論：Exchange環(huán)上的每個投射模是其循環(huán)子模的直和.1977年，加拿大代數(shù)學(xué)家Nicholson教授系統(tǒng)地研究了Exchange環(huán)的性質(zhì)，給出了Exchange環(huán)的一個很經(jīng)典的刻畫，即一個環(huán)R是Exchange環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R摸每個左(或右)理想冪等提升.為了探討Exchange環(huán)的性質(zhì)，在同一篇文章中，Nicholson教授引進(jìn)了clean環(huán)，并證明cl

2、ean環(huán)是Exchange環(huán)，但反過來是否成立還是一個公開問題.這極大地引起了環(huán)論工作者的興趣，從而研究Exchange環(huán)成為clean環(huán)的條件成為代數(shù)環(huán)論研究的一個重要組成部分.已知的一個著名的條件是由Nicholson教授于1977年給出的,即R是Abelian環(huán).后來被宇化平教授在1995年推廣到更大的環(huán)類(左)quasi-duo環(huán)上.2007年，陳衛(wèi)星教授介紹了半Abelian環(huán)，通過驗證，發(fā)現(xiàn)半Abelian環(huán)也是一個條件.由

3、于clean環(huán)，Exchange環(huán)和半Abelian環(huán)都是通過冪等元進(jìn)行刻畫的，因此通過冪等元來研究Exchange環(huán)成為clean環(huán)的條件是本博士論文的最初的動機.
　　 追溯文獻(xiàn)，有穩(wěn)定域1(stable range1)的環(huán)似乎是由Vaserstein教授于1971年給出的(參見：Vaserstein，L. N.(1971).Stable rank of rings and dimensionalityof topologi

4、cal spaces，F(xiàn)unct.Ana.Appl.5：102-110.).宇化平教授在1995年發(fā)現(xiàn)Abelian的Exchange環(huán)有穩(wěn)定域1，左quasi-duo的Exchange環(huán)也有穩(wěn)定域1.2007年，陳衛(wèi)星教授在他的文章中暗示半Abelian的Exchange環(huán)有穩(wěn)定域1.鑒于上述結(jié)果，本博士論文自然考慮通過冪等元來研究Exchange環(huán)有穩(wěn)定域1的條件.
　　 在2006年，Kim Jin Yong教授證明了如下

5、重要定理：設(shè)R是一個左遺傳環(huán)包含一個內(nèi)射的極大左理想(稱為左HI-環(huán))，若R是左冪等自反環(huán)，則R是半單Artinian環(huán).從而否定了Yue Chi Ming教授在1985年提出的問題：如果一個左遺傳環(huán)R包含一個內(nèi)射的極大左理想，則R是半單Artinian環(huán)嗎?作為Abelian環(huán)的重要推廣，左冪等自反環(huán)逐漸引起了環(huán)論工作者的興趣.本博上論文利用左極小冪等元，引進(jìn)了左MC2環(huán)(Nicholson教授和Yousif教授稱之為左MC2-條件)

6、，推廣了左冪等自反環(huán)，而且左冪等自反環(huán)上的許多著名的結(jié)論被推廣到左MC2環(huán)上.
　　 總之，本博士論文主要利用冪等元(idempotents)定義如下幾種新環(huán)類：Weakly-abel環(huán)，Quasi-normal環(huán)，左EQN環(huán)，左NQD環(huán)；特別地對左極小冪等元進(jìn)行了詳細(xì)地研究，利用左極小冪等元介紹了左min-abel環(huán)，左MC2環(huán)和強左DS環(huán).借助于冪等元的構(gòu)造技巧研究這些環(huán)類的重要性質(zhì)，給出了它們之間以及它們與其它環(huán)類之間的關(guān)

7、系，利用它們推廣已有的著名結(jié)論.主要結(jié)果如下：
　　 (1)Weakly-abel的Exchange環(huán)是clean環(huán).(推廣了Nicholson教授的結(jié)果：Abelian的Exchange環(huán)是clean環(huán)和宇化平教授的結(jié)果：左quasi-duo的Exchange環(huán)是clean環(huán).)
　　 (2)Weakly-abel的Exchange環(huán)有穩(wěn)定域1.(推廣了宇化平教授的結(jié)果：Abelian或左quasi-duo的Excha

8、nge環(huán)有穩(wěn)定域1.)
　　 (3)左MC2的左HI-環(huán)是半單Artinian環(huán).(推廣了Kim Jin Yong教授的結(jié)果：左冪等自反的左HI-環(huán)是半單Artinian環(huán).)
　　 (4)R是左quasi-duo環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是MELT的左min-abel環(huán).
　　 (5)R是Abelian環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是Quasi-normal的左冪等自反環(huán).
　　 (6)R是強正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是von Neumann正