一致星因子圖與籠的連通性.pdf

1、1940年，Turan首先將極圖理論作為一個(gè)學(xué)科來(lái)研究，Paul Erdos進(jìn)而推動(dòng)了這一理論的發(fā)展。自此，極圖理論成為圖論的一個(gè)重要分支。在極圖理論里，我們所感興趣的是圖的各種不變量之間的關(guān)系，這些不變量包括頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、連通度、最小度、直徑等。此外，多大的這些不變量才能保證圖具有某些性質(zhì)，這也是我們所感興趣的地方。通常對(duì)一類圖H，給定性質(zhì)p和一個(gè)不變量μ，我們希望確定出最小的值m，使得H中每個(gè)滿足μ(G)>m的圖G都具有性質(zhì)p。我們

2、稱H中的那些不具有性質(zhì)p且μ(G)=m的圖G為此問題下的極圖。舉個(gè)例子，每個(gè)頂點(diǎn)數(shù)為n，邊數(shù)至少為n的圖一定包含圈，那么在這個(gè)問題下的極圖就是所有頂點(diǎn)數(shù)為n的樹。說(shuō)到這里，我們需要強(qiáng)調(diào)下，本文中所說(shuō)的極圖理論是指廣義的，它可以包括各種結(jié)構(gòu)性結(jié)果。
　　 在本文中，我們主要討論了兩類極圖。一類是關(guān)于一致星因子圖的刻畫，另一類則是關(guān)于籠的連通性。在第一章中，我們將會(huì)介紹一些基本的定義和相關(guān)問題的歷史背景。
　　 我們稱同構(gòu)于

3、K1，n的樹為星，這里n≥1。如果圖G的某個(gè)生成子圖的所有分支都是星，則稱這個(gè)生成子圖足圖G的一個(gè)星因子。圖G的邊賦權(quán)函數(shù)是指ω：E(G)→N+，這里N+表示正整數(shù)集合。設(shè)H是圖G的一個(gè)子圖，在G的邊賦權(quán)函數(shù)ω下，圖H上所有邊的權(quán)和稱為H的權(quán)，也就是說(shuō)，ω(H)=∑e∈E(H)ω(e)。如果圖G存在一個(gè)邊賦權(quán)函數(shù)ω，使得G的每個(gè)星因子的權(quán)都相等，那么我們則稱圖G是一致星因子圖。一致星因子圖的概念是由Hartnell和Rall在文[24]

4、中提出的。在第二章里，我們首先用Gallai－Edmonds匹配結(jié)構(gòu)定理給出在常函數(shù)邊賦權(quán)條件下，所有一致星因子圖的完整刻畫；然后給出在一般邊賦權(quán)函數(shù)條件下，所有圍長(zhǎng)至少為5的一致星因子圖的一個(gè)清晰刻畫。
　　 如果一個(gè)k-正則圖G的圍長(zhǎng)為g，則稱它為(k，g)-圖。對(duì)給定的k和g，含有最少頂點(diǎn)數(shù)的(k，g)-圖則稱之為籠?；\問題是圖論中最古老的問題之一?；\是由Tutte[52]在1947提出的，此后得到廣泛地研究，然而這個(gè)課題