有限域Jacket矩陣及其快速變換研究.pdf

1、矩陣?yán)碚撘褟V泛用于工程領(lǐng)域，是一種不可替代的數(shù)學(xué)工具。哈達(dá)瑪矩陣是其中最重要的一類，與其它典型矩陣如協(xié)商矩陣(Conference matrices)、循環(huán)矩陣(Circulent matrices)、循環(huán)權(quán)重矩陣(Circulent Weighting matrices)、Pn-矩陣等廣泛用于信號(hào)處理、圖像處理、編碼設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。以中心權(quán)重哈達(dá)瑪矩陣為出發(fā)點(diǎn)，Moon Ho Lee于1989年提出“Jacket矩陣”。這一類矩陣具有求逆

2、簡(jiǎn)單（比特翻轉(zhuǎn)求逆）和行/列正交的優(yōu)異性質(zhì)，已在信號(hào)處理、通信、圖像壓縮、密碼學(xué)等領(lǐng)域中發(fā)揮了非常重要的作用。大部分信號(hào)矩陣，如離散傅里葉變換( Discrete Fourier Transform)、離散余弦變換(Discrete Cosine Transform)、Slant和Haar矩陣都從屬于Jacket矩陣家族。
　　 本論文的工作是圍繞“Jacket矩陣”來(lái)展開(kāi)，并結(jié)合了抽象代數(shù)、組合數(shù)學(xué)、著名的斐波那契數(shù)列以及離散

3、傅里葉變換等理論，構(gòu)造了兩類新的Jacket矩陣，并研究了相應(yīng)矩陣的快速分解與構(gòu)造算法，同時(shí)探討了基于質(zhì)數(shù)因子算法的離散傅里葉矩陣快速變換。具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下：
　　 1．構(gòu)造基于有限域GF(p)的斐波那契Jacket矩陣。首先定義有限域GF(p)上的斐波那契數(shù)列，按照給定的行線性關(guān)系構(gòu)造斐波那契Jacket矩陣。然后定義了基本矩陣，并以此為基礎(chǔ)，探討高階斐波那契Jacket矩陣的快速構(gòu)造與快速分解算法。
　　 2．提出基

4、于質(zhì)數(shù)因子算法的離散傅里葉矩陣快速算法。根據(jù)離散傅里葉矩陣從屬于Jacket矩陣這一性質(zhì)，在質(zhì)數(shù)因子算法基礎(chǔ)上，提出離散傅里葉矩陣快速分解與構(gòu)造算法。
　　 3．利用中國(guó)剩余定理對(duì)離散傅里葉矩陣進(jìn)行指數(shù)映射，證明映射后的離散傅里葉矩陣滿足Cocyclic定義，由此構(gòu)造出Cocyclic離散傅里葉矩陣，并研究相應(yīng)的矩陣構(gòu)造（分解）算法。
　　 本文所構(gòu)造的斐波那契Jacket矩陣和Cocyclic離散傅里葉矩陣，均屬于Ja