簡介:管理統(tǒng)計學(xué),2010年,1概率論基礎(chǔ),11事件與概率12概率的基本性質(zhì)13條件概率與事件獨立性14隨機變量及其分布,11事件與概率,自然界和人類社會生產(chǎn)實踐中的兩類現(xiàn)象確定性現(xiàn)象具有確定結(jié)果的現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象/隨機現(xiàn)象在基本條件不變的情況下,一系列試驗或觀察會得到不同的結(jié)果,并且在每次試驗或觀察之前不能預(yù)知會出現(xiàn)哪種結(jié)果概率論研究的對象隨機現(xiàn)象,例11生活中的隨機現(xiàn)象,生活中隨機現(xiàn)象的例子拋擲一顆骰子,出現(xiàn)的點數(shù)一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù)某一生產(chǎn)線生產(chǎn)出的燈泡的壽命某批產(chǎn)品的不合格率,111隨機試驗與隨機事件,隨機試驗滿足以下三個特點的試驗試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行試驗有多種可能的結(jié)果,并且事先可以明確所有可能出現(xiàn)的結(jié)果試驗完成之前不能預(yù)知會出現(xiàn)哪一個的結(jié)果樣本空間?一個隨機試驗的所有可能結(jié)果的集合樣本點?試驗的每一個可能結(jié)果,例12隨機現(xiàn)象的樣本空間,試列出例11中隨機現(xiàn)象的樣本空間擲一顆骰子的樣本空間Ω1{Ω1,Ω2,,Ω6},其中ΩI表示出現(xiàn)I點,I1,2,,6。也即擲一顆骰子的樣本空間為Ω1{1,2,,6}一天內(nèi)進入某超市顧客數(shù)的樣本空間Ω2{0,1,2,},其中0表示一天內(nèi)無人光顧某生產(chǎn)線生產(chǎn)出燈泡的壽命的樣本空間Ω3{T|T≥0}產(chǎn)品的不合格率一定是介于0與1之間的一個實數(shù),因此其樣本空間Ω4{Y|0≤Y≤1},隨機事件,隨機事件/事件A,B,C樣本空間?的某個子集事件A發(fā)生當且僅當事件A所包含的某一樣本點出現(xiàn)隨機事件的幾個概念基本事件僅包含一個樣本點的隨機事件例如,擲一顆均勻的骰子,事件B“擲出2點”復(fù)合事件包含多個樣本點的隨機事件例如,擲一顆均勻的骰子,事件C“出現(xiàn)偶數(shù)點”必然事件?包含全部樣本點的隨機事件例如,擲一顆均勻的骰子,事件D“點數(shù)小于7”不可能事件?不包含任何樣本點的隨機事件例如,擲一顆均勻的骰子,事件E“點數(shù)大于6”,112事件的關(guān)系及運算,文氏圖展示在不同事物群組(集合)之間的數(shù)學(xué)或邏輯聯(lián)系用一個長方形表示樣本空間Ω,用其中的一個圓或其他圖形表示隨機事件A,1事件之間的關(guān)系(待續(xù)),事件的包含A包含于B//?事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,,,,A包含于B,事件之間的關(guān)系(續(xù)),事件的相等A與B相等/AB?事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,同時事件B發(fā)生必然導(dǎo)致事件A發(fā)生事件的互不相容A與B互不相容?事件A與事件B不可能同時發(fā)生,AB,A與B互不相容,2事件的運算(待續(xù)),事件的并A與B的并/A∪B?屬于事件A或B的所有樣本點構(gòu)成的集合事件的交A與B的交/A∩B/AB?同時屬于事件A和B的所有樣本點構(gòu)成的集合,A∪B,A∩B,事件的運算(續(xù)),事件的差A(yù)與B的差/AB?屬于事件A、不屬于事件B的所有樣本點構(gòu)成的集合事件的對立(逆)A的對立(逆)/?樣本空間中不屬于事件A的所有樣本點構(gòu)成的集合,AB,例13產(chǎn)品抽樣檢查,已知一批外形無差別的產(chǎn)品中有3件次品,現(xiàn)隨機地從這批產(chǎn)品中依次抽取3件,分別以A、B、C代表第一次、第二次、第三次抽到次品試表示①三次都抽到次品②只有第一次抽到次品③三次都沒有抽到次品④至少抽到一件次品⑤最多抽到一件次品⑥最多抽到兩件次品,解①三次都抽到次品②只有第一次抽到次品③三次都沒有抽到次品④至少抽到一件次品⑤最多抽到一件次品,即A,B,C中只有一個發(fā)生或A,B,C全不發(fā)生⑥最多抽到兩件次品,即是A,B,C全發(fā)生的對立事件,3事件運算的性質(zhì),事件運算遵循的法則交換率,結(jié)合率,分配率對偶率(德莫根公式),,113事件的概率,概率隨機事件發(fā)生的可能性的量度常用PA表示隨機事件A發(fā)生的可能性大小,1概率的統(tǒng)計定義(待續(xù)),頻率FNAN/N,其中N為事件A發(fā)生的次數(shù),N為試驗總次數(shù)頻率的性質(zhì)非負性FNA≥0規(guī)范性FNΩ1可加性若A、B互不相容,則FNA∪BFNA+FNB,概率的統(tǒng)計定義(續(xù)),頻率穩(wěn)定性在相同條件下進行的多次重復(fù)試驗,隨著試驗重復(fù)次數(shù)N的增加,隨機事件A的頻率FNA會在某一固定的常數(shù)A附近擺動,這個固定的常數(shù)A就是我們所說的概率,歷史上拋硬幣試驗的若干結(jié)果,2概率的古典定義,古典概型具有以下兩個基本特點的概率模型試驗具有有限個可能出現(xiàn)的結(jié)果試驗的每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的古典概型中基本事件Ω的概率(假定樣本空間?{Ω1,Ω2,,ΩN})古典概型中隨機事件A的概率其中,事件A包含樣本點又稱為A的“有利場合”,,例14摸球模型,已知袋中有5個白球、3個黑球,從中任取兩個求取到的兩個球顏色不同的概率解從8個球中任取2個有種不同的取法,記“取到的2個球顏色不同”為事件A,則事件A包含的樣本點數(shù)為,故取到兩個不同顏色球的概率為,摸球模型在實際問題中的應(yīng)用將“白球”、“黑球”替換為“正品”、“次品”,就可以用來求解產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢查問題向口袋中加入其他顏色的球,可以描述具有更多等級的產(chǎn)品抽樣問題,如將產(chǎn)品分為一等品、二等品、三等品、等外品的產(chǎn)品抽樣檢查問題,3概率的幾何定義,幾何概型設(shè)在空間上有一區(qū)域?,隨機地向?內(nèi)投擲一點M,滿足M落在區(qū)域Ω內(nèi)的任意位置的概率都是相等的M落在區(qū)域Ω的任何部分區(qū)域G內(nèi)的概率只與G的測度(長度、面積、體積等)成正比,并且與G的位置和形狀無關(guān)幾何概型中隨機事件AG的概率,,例15會面問題,已知甲、乙兩人約定在6到7時間在某處會面,并約定先到者應(yīng)等候另一人20分鐘,過時即可離去求兩人能會面的概率解以甲到達的時刻為X軸,以乙到達的時刻為Y軸,建立平面直角坐標系坐標平面(X,Y)的所有可能結(jié)果為圖中所示邊長為60的正方形,由此得到樣本空間Ω的測度為SΩ602如果兩人能夠會面,需要滿足條件|XY|≤20,即圖中的陰影部分,其面積為SG602402,故兩人能會面的概率為,4主觀概率,主觀概率對于一些不能重復(fù)的或不能大量重復(fù)的現(xiàn)象,根據(jù)個人的經(jīng)驗對隨機事件發(fā)生的可能性進行估計得出的概率例如氣象預(yù)報“今天夜間多云有陣雨,降水概率60”,外科醫(yī)生認為某患者“手術(shù)成功的可能性為90”,12概率的基本性質(zhì),根據(jù)概率的公理化定義,有性質(zhì)1(非負性)對于任意事件A,有PA≥0性質(zhì)2(規(guī)范性)必然事件Ω的概率為1,即P?1性質(zhì)3(可列可加性)對于可列個兩兩互不相容事件A1,A2,,有PA1∪A2∪PA1+PA2++PAN,公理導(dǎo)出性質(zhì)(待續(xù)),根據(jù)性質(zhì)1、2、3,有性質(zhì)4不可能事件?的概率為0,即P?0性質(zhì)5(有限可加性)對于任意N個事件A1,A2,AN,若AIAJ?(I,J1,2,,N;I≠J),則PA1∪A2∪∪ANPA1PA2PAN性質(zhì)6對于任意事件A,有P1PA,公理導(dǎo)出性質(zhì)(續(xù)),性質(zhì)7對于任意事件A和B,若AB,則PABPAPB性質(zhì)8(減法公式)對于任意事件A和B,有PABPAPAB性質(zhì)9(加法公式)對于任意事件A和B,有PA∪BPA+PBPAB性質(zhì)10(一般加法公式)對任意N個事件A1,A2,,AN,有,,例16職工代表,已知某班組有男工7人、女工4人,現(xiàn)要選出3個代表求3個代表中至少有一個女工的概率解法1樣本空間包含的全部樣本點數(shù)為,以A記“3個代表中至少有一個女工”,AI記“3個代表中有I個女工”I1,2,3,則AA1+A2+A3,故所求概率為解法2將“3個代表中至少有一個女工”記為事件A,則“3個代表全部為男工”,而,根據(jù)性質(zhì)6可求得,例17電子刊物訂閱,已知某學(xué)校向?qū)W生發(fā)行兩種電子刊物A和B,且該校學(xué)生中訂閱刊物A的占65,訂閱刊物B的占50,同時訂閱刊物A和B的占30求從該學(xué)校學(xué)生中隨機地抽取一名,該學(xué)生訂閱電子刊物的概率解若以A記“學(xué)生訂閱刊物A”,以B記“學(xué)生訂閱刊物B”,則學(xué)生訂閱電子刊物為事件A∪B。根據(jù)概率的加法公式,學(xué)生訂閱電子刊物的概率為PA∪BPA+PBPAB065+0503085,例18匹配問題,已知某人寫好N封信,又寫好N只信封,然后在黑暗中把每封信放入一只信封中求至少有一封信與信封匹配的概率解若以AI記第I封信與信封匹配,則所求事件為A1∪A2∪∪AN,因此,根據(jù)一般加法公式有,因此有,13條件概率與事件獨立性,131條件概率與乘法公式132事件獨立性133全概率公式134貝葉斯公式,131條件概率與乘法公式,條件概率PA|B表示事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率條件概率公式,其中A、B為任意兩個事件,且PB0,例19員工升職問題,某公司有1200名員工包括男性960人,女性240人,過去的三年里員工提升情況見表中數(shù)據(jù)試計算①若一個員工為男性,則其得到提升的概率②若一個員工為女性,則其得到提升的概率,解根據(jù)題意,分別以M記“某員工為男性”、W記“某員工為女性”,以A記“某員工得到提升”,由表中數(shù)據(jù)有PM960/1200080PW240/1200020PMA288/1200024PWA36/1200003①若一個員工為男性,則其得到提升的概率為②若一個員工為女性,則其得到提升的概率,員工提升情況表,條件概率的性質(zhì)(待續(xù)),性質(zhì)1對于任意事件A和B,有PA|B≥0性質(zhì)2在事件B發(fā)生的條件下,必然事件Ω發(fā)生的概率為1,即PΩ|B1性質(zhì)3對于可列個兩兩互不相容事件A1,A2,,以及任意事件B,有性質(zhì)4對于任意事件B,有P?|B0,條件概率的性質(zhì)(續(xù)),性質(zhì)5對于任意N個兩兩互不相容事件A1,A2,AN,有PA1∪A2∪∪ANPA1+PA2++PAN性質(zhì)6對于任意事件A和B,有PA|B1P|B性質(zhì)7對于任意事件A1,A2和B,有PA1∪A2|BPA1|B+PA2|BPA1A2|B特別地,當BΩ時,條件概率轉(zhuǎn)化為無條件的一般概率,乘法公式,乘法公式PABPBPA|B乘法公式的推廣當PA1A2AN0時,有PA1A2ANPA1PA2|A1PA3|A1A2PAN|A1A2AN1,例110零件出售“假一賠十”,已知商店出售某零件每箱裝這種零件100件,且包括4件次品假一賠十顧客買一箱零件,如果隨機取1件發(fā)現(xiàn)是次品,商店立刻用10件合格品取代其放入箱中某顧客在一個箱子中先后取了3件進行測試求這3件都不是合格品的概率,解以AI記“顧客在第I次取到不合格品”I1,2,3,則有根據(jù)乘法公式可知,顧客取出的3件都不是合格品的概率為,132事件獨立性,相互獨立事件對于任意事件A和B,如果有PABPAPB,則稱事件A與B相互獨立/A與B獨立相互獨立事件的性質(zhì)性質(zhì)1若事件A與B相互獨立,則PB|APB性質(zhì)2若事件A與B相互獨立,則與B、A與、與均獨立,例111射擊問題,已知甲、乙二人獨立地向同一目標射擊,其命中率分別為06和07求目標被射中的概率解根據(jù)題意,以A記“甲射中目標”,以B記“乙射中目標”,以C記“目標被射中”,因此有CA∪B。由于事件A和B是相互獨立的,故目標被射中的概率為PCPA∪BPAPBPABPAPBPAPB06070607088也可以先考慮C的對立事件,顯然有PC1P1P1P1PP1106103088,,133全概率公式,完備事件組若A1,A2,AN兩兩互斥,且A1∪A2∪∪ANΩ,則稱A1,A2,,AN是樣本空間Ω的一個完備事件組全概率公式,其中A1,A2,,AN是樣本空間Ω的一個完備事件組,PAI0,例112零件加工,已知某車間有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線加工一批零件,各生產(chǎn)線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的40、35和25,且這三條生產(chǎn)線加工該零件的次品率分別為2、4和5求從這批零件中任意取出一個零件是次品的概率解分別以A1、A2、A3記零件來自甲、乙、丙生產(chǎn)線,以B記“取出次品”,顯然A1,A2,A3構(gòu)成這一隨機取樣試驗樣本空間Ω的完備事件組,由已知條件可知PA1040PA2035PA3025PB|A1002PB|A2004PB|A3005根據(jù)全概率公式,取出次品的概率為PBPA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3040002+035004+02500500345,134貝葉斯公式,貝葉斯公式,其中A1,A2,,AN是樣本空間Ω的一個完備事件組,PB0,PAI0,例113零件加工,在例112中,如果取出的零件是次品,分別求這個零件是由甲、乙、丙生產(chǎn)線加工的概率解分別以A1、A2、A3記取出的零件來自甲、乙、丙生產(chǎn)線,以B記“取出次品”,則根據(jù)例112,有根據(jù)貝葉斯公式,可以得到,14隨機變量及其分布,141隨機變量及其分布函數(shù)142隨機變量的數(shù)字特征143常用的離散型分布144常用的連續(xù)型分布,141隨機變量及其函數(shù)分布,隨機現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量形式的,例如擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)非數(shù)量形式的,例如拋一枚硬幣的結(jié)果隨機現(xiàn)象數(shù)量化的表現(xiàn)隨機變量,1隨機變量與分布函數(shù),隨機變量X,Y,Z定義在樣本空間Ω上的取值為實數(shù)的函數(shù),滿足Ω中每一個點,即每個基本事件都有實軸上的點與之對應(yīng)離散型隨機變量所有可能取值都能逐個列舉出來連續(xù)型隨機變量取值不能逐個列舉,而是充滿數(shù)軸上的某一區(qū)間分布函數(shù)FXPX≤X,分布函數(shù)FX在X處的函數(shù)值就表示隨機變量X落在區(qū)間?,X上的概率,2離散型隨機變量及其分布,離散型隨機變量的分布列PIPXXI,其中XI為離散型隨機變量X的所有可能取值,I1,2,,N,分布列的表格形式離散型隨機變量的分布函數(shù),離散型隨機變量的分布列,分布列的性質(zhì),分布列的性質(zhì)非負性PI≥0正則性對于任意實數(shù)A、BA0)指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標準差,,例123等待時間,假設(shè)某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一個顧客到達的等待時間(以分鐘記)服從參數(shù)?04的指數(shù)分布求等待時間不超過3分鐘的概率解根據(jù)題意,可知等待時間X的分布函數(shù)為因此,等待時間不超過3分鐘的概率為PX≤3F31E0431E120699,,3正態(tài)分布(待續(xù)),正態(tài)分布隨機變量X服從正態(tài)分布/XN?,?2?隨機變量X的密度函數(shù)為?0正態(tài)分布的分布函數(shù),正態(tài)密度函數(shù),正態(tài)分布(續(xù)),正態(tài)分布的密度函數(shù)具有如下性質(zhì)正態(tài)密度函數(shù)在平面直角坐標系的位置由參數(shù)?確定正態(tài)密度函數(shù)的尺度由參數(shù)?所確定正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標準差EX?DX?2?X?,標準正態(tài)分布,標準正態(tài)分布參數(shù)?0,?1時,正態(tài)分布N0,1稱為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的密度函數(shù)標準正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的標準化對于一般正態(tài)分布,作變換,將其轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布ZN0,1,,例124上班路線選擇,已知王某家住市區(qū)西郊,他到東郊工作單位的上班的路線可以有兩種選擇一是橫穿市區(qū),這條路線路程較短,但交通堵塞嚴重,所需時間XN30,100;二是選擇環(huán)城公路,這條路線路程較遠,但堵塞少,所需時間YN40,16求①若距上班時間還有50分鐘,應(yīng)選擇哪條路線②若距上班時間還有45分鐘,應(yīng)選擇哪條路線解根據(jù)題意,設(shè)王某選擇第一條路線需要花費的時間為X,選擇第二條路線需要花費的時間為Y,解題過程,①若距離上班時間還有50分鐘,則對于兩條路線,王某準時上班的概率分別為此時選擇第二條路線時準時上班的概率較大,因此應(yīng)選第二條路線,②若距離上班時間還有45分鐘,則對于兩條路線,王某準時上班的概率分別為此時選擇第一條路線時準時上班的概率較大,因此應(yīng)選第一條路線,,,3?原則,3?原則如果隨機變量XN0,1,則P|X?|≤?06826P|X?|≤2?09545P|X?|≤3?09973,4?2分布,T分布,F(xiàn)分布,設(shè)隨機變量X1,X2,,XN相互獨立且都服從N0,1,則隨機變量服從自由度為N的?2分布,記作Y?2N設(shè)隨機變量XN0,1,Y?2N,且它們相互獨立,則隨機變量服從自由度為N的T分布,記作ZTN設(shè)隨機變量X和Y相互獨立,分別服從為?2M和?2N,則隨機變量服從第一自由度為M,第二自由度為N的F分布,記作ZFM,N,
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