關(guān)于給定虧格的非同構(gòu)地圖.pdf

1、本論文主要研究的是給定虧格曲面上的非同構(gòu)根地圖，即所謂的帶根地圖計(jì)數(shù)問(wèn)題(如不特別申明，文中凡提及地圖皆指帶根地圖)．其作為一般地圖計(jì)數(shù)的理論基礎(chǔ)，該問(wèn)題的研究具有重要的理論和實(shí)際意義．論文主要分成兩大部分：平面地圖計(jì)數(shù)和非平面地圖計(jì)數(shù)．所采用的方法主要是一種解析方法(目前是帶根地圖計(jì)數(shù)的核心)，其中亦用到組合的技巧． 對(duì)于平面上非同構(gòu)根地圖的研究，關(guān)鍵在于對(duì)地圖集合本身給予一適當(dāng)?shù)姆纸猓@部分內(nèi)容主要集中在前三章． 第

2、一章首先對(duì)地圖計(jì)數(shù)理論的研究背景作簡(jiǎn)要介紹．隨后，給出地圖以及一些與之相關(guān)的定義和性質(zhì)．另外，對(duì)本論文主要采用的解析方法作了詳細(xì)的闡述． 第二章主要研究了平面泛扇地圖和圈界地圖．利用兩種不同的方法，給出了不同參數(shù)下一般平面泛扇地圖和圈界地圖的計(jì)數(shù)顯式．同時(shí)，還提供了無(wú)環(huán)泛扇地圖，邊緣3-正則圈界地圖以及受限圈界地圖等幾類(lèi)平面地圖的計(jì)數(shù)顯式．眾所周知，Halin地圖在圖的上嵌入理論和計(jì)數(shù)理論中都有著重要地位．這兩類(lèi)地圖就是在Hal

3、in地圖的基礎(chǔ)上提出來(lái)的比之更一般的地圖類(lèi)．而且，一個(gè)泛扇地圖的基準(zhǔn)圖即是一個(gè)Apex圖[56]，其在拓?fù)鋱D論中亦為一重要圖類(lèi)． 第三章主要研究的是外．無(wú)弦平面地圖．它是由不可分離平面地圖衍生而得到的一類(lèi)地圖．對(duì)于研究射影平面上3-正則地圖[51]，以及曲面上其他地圖類(lèi)的計(jì)數(shù)問(wèn)題都是非常有意義的．文獻(xiàn)[24]中，給出了外．無(wú)弦近三正則平面地圖的個(gè)數(shù)．在此，我們通過(guò)尋找外-無(wú)弦一般地圖與不可分離平面地圖之間的一種關(guān)系，得到了具有n

4、條邊的外一無(wú)弦一般平面地圖的具體數(shù)目． 第二部分包括四、五、六三章，主要是在平面地圖計(jì)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，對(duì)曲面(尤其是高虧格曲面)上地圖的計(jì)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行研究．解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵在于尋找合適的參數(shù)對(duì)其計(jì)數(shù)函數(shù)所滿(mǎn)足方程求解． 第四章著重討論了曲面上瓣叢．瓣叢的對(duì)偶即是單面地圖(在虧格為g的曲面上亦為g-本質(zhì)地圖)．此兩類(lèi)地圖均是地圖類(lèi)中最簡(jiǎn)單的，詳細(xì)研究這兩類(lèi)地圖可為其他地圖類(lèi)的研究奠定基礎(chǔ)，尤其是在復(fù)雜的高虧格曲面上．本章中

5、，我們對(duì)瓣叢做進(jìn)一步研究，不但給出了多參數(shù)下瓣叢在任意虧格可定向曲面(不可定向曲面)上統(tǒng)一的計(jì)數(shù)函數(shù)方程，而且給出了此類(lèi)地圖在任意虧格曲面上個(gè)數(shù)的遞推式．通過(guò)尋求合適的參數(shù)方程，我們得到了瓣叢(以根面次和邊數(shù)為參數(shù)下)在可定向曲面(虧格0-3)及不可定向曲面(虧格1-5)上非同構(gòu)地圖的數(shù)目.同時(shí)作為推論，亦得到了瓣叢(單面地圖或g-本質(zhì)地圖)在以邊數(shù)為參數(shù)下相應(yīng)的計(jì)數(shù)顯式，且比已有結(jié)果更為簡(jiǎn)潔. 基于第四章的結(jié)果，第五章研究了一類(lèi)與瓣叢

6、拓?fù)涞葍r(jià)的地圖類(lèi)：近2-正則地圖.通過(guò)一種組合方法(不同于文獻(xiàn)[24])，給出了多參數(shù)下平面近2-正則地圖的計(jì)數(shù)顯式.同時(shí)，得到了任意虧格曲面上該類(lèi)地圖與瓣叢之間的一種關(guān)系式. 第六章中，我們給出了泛扇地圖在任意虧格不可定向曲面上統(tǒng)一的計(jì)數(shù)函數(shù)方程.而且，得到了射影平面及Klein瓶上此類(lèi)地圖在以根面次和邊數(shù)為參數(shù)下計(jì)數(shù)函數(shù)的精確解. 第七章系統(tǒng)的介紹了地圖計(jì)數(shù)領(lǐng)域中一些需要更進(jìn)一步研究的問(wèn)題，如精確計(jì)算高虧格曲面上非同