弱鞅和其他隨機序列的不等式及其應(yīng)用.pdf

1、概率論是一門研究隨機現(xiàn)象中數(shù)量規(guī)律的科學(xué)，而隨機現(xiàn)象在我們自然界和人們生活中無處不在.隨著人類社會的進步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟全球化的日益快速進程，概率論在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著越來越重要的角色，取得越來越廣泛的應(yīng)用，也獲得了越來越大的發(fā)展動力.概率極限理論又是概率論的重要分支之一.本篇論文主要利用隨機變量的截尾技術(shù)、常用不等式（如Jensen不等式、H(o)lder不等式、Cr不等式、Minkowski不等式、指數(shù)型不等式、Rosentha

2、l-型不等式、極大值型不等式等），討論了一些相依隨機變量序列的概率不等式及其應(yīng)用.
　　 首先，我們討論了Demimartingales（弱鞅）和N-demimartingales(N-弱鞅)的一些概率不等式.研究表明，自然σ-域下的鞅序列和均值為零的Associated序列的部分和序列是Demimartingales，反之不然.同樣，自然σ-域下的鞅序列和均值為零的NegativelyAssociated序列的部分和序列是N-

3、demimartingales，反之不然.所以自然σ-域下的鞅序列既是Demimartingales又是N-demimartingales.目前對鞅序列的研究已很成熟，獲得了許多經(jīng)典的結(jié)論，如Marshall不等式（比Kolmogorov不等式更精確）、上凸函數(shù)型不等式、下凸函數(shù)型不等式（可獲得Doob不等式）等.本文將鞅序列已有的一些結(jié)論推廣到Demimartingales和N-demimartingales情形，給出了Demimar

4、tingales和N-demimartingales的極大值型不等式，如Marshall-型不等式、上凸函數(shù)型不等式、下凸函數(shù)型不等式等.同時，我們也討論了Demimartingales的極小值型不等式，并首次給出了Demimartingales的極小值Marshall-型不等式.另外，我們給出了N-demimartingales一些其他類型的不等式.最后我們總結(jié)了Demimartingales和N-demimartingales的一些

5、相似之處和不同之處.我們的結(jié)論推廣了Aebeko[1]、Garsia[26]、H(a)rremo(e)s[33]、Iksanov和Marynych[41]、Mu和Miao[64]相應(yīng)的結(jié)論.
　　 其次，假設(shè){Zn}n≥1為一非負隨機變量序列，其截尾隨機變量滿足Rosenthal-型不等式，記Xn=M-1nn∑i=1Zi，其中{Mn}n≥1為一正數(shù)序列.在適當?shù)臈l件下，對任意實數(shù)a＞0和α＞0，給出了逆矩的漸近逼近形式E(a+X

6、n)-α～（a+EXn）-α，n→∞.我們稱此模型為逆矩Ⅰ模型.同時在其他一些條件下，我們給出了逆矩Ⅰ模型的收斂速度|E(a+Xn)-α/(a+EXn)-α-1|=O(1/EXn),n→∞.進一步，對滿足一定條件的函數(shù)f(x)，給出其逆矩漸近逼近形式E[f(Xn)]-1～[f(EXn)]-1，n→∞.另外，記(X)n=n∑i=1Zi.同樣在適當?shù)臈l件下，我們也給出了其逆矩的漸近逼近形式E（a+(X)n）-α～（a+E(X)n）-α，n→

7、∞.我們稱此模型為逆矩Ⅱ模型.這里指出逆矩Ⅰ模型和Ⅱ模型互不包含，可應(yīng)用到不同實際領(lǐng)域中去.在其他一些條件下，我們給出逆矩Ⅱ模型的收斂速度|E(a+(X)n)-α/(a+E(X)n)-α-1=O（(√)n/E(X)n），n→∞.類似地，對滿足一定條件的f(x)，給出其逆矩逼近形式E[f((X)n)]-1～[f(E(X)n)]-1，n→∞.例子表明，利用逆矩Ⅰ和Ⅱ模型的相關(guān)結(jié)論很容易處理常見隨機變量相應(yīng)的逆矩計算問題.我們逆矩Ⅰ模型和Ⅱ模

8、型的結(jié)論推廣和改進了Shi等[87]、Sung[92]、Wang等[103]、Wu等[109]相應(yīng)的結(jié)論.
　　 第三，在一些簡潔的條件和較弱的混合系數(shù)條件下，我們討論了α-混合樣本分位數(shù)的漸近性質(zhì).例如，對某個β＞3，如果α（n）=O（n-β），我們研究了α-混合樣本分位數(shù)的Bahadur表示，給出其收斂速度O(n-1/2(loglogn·logn)1/2).進一步，若對某個δ＞0和β＞max{3+5/1+δ，1+2/δ}，有

9、α（n）=O（n-β），則其收斂速度為O（n-3/4+δ/4(2+δ)（loglogn·logn）1/2）.另外，如果α（n）=O（n-7/4），則我們給出了α-混合樣本分位數(shù)的Berry-Esséen界O(n-1/9）.進一步，若加強混合系數(shù)要求α(n)=O(n-39/11），則其Berry-Esséen界為O(n-1/6·logn).我們有關(guān)α-混合樣本分位數(shù)的Bahadur表示和Berry-Esséen界的結(jié)論分別推廣了Wang等

10、[99]和Lahiri和Sun[48]相應(yīng)的結(jié)論.
　　 最后，當誤差{ξn}n≥1滿足一些一般性的條件時，我們討論了非線性回歸模型未知參數(shù)θ的最小二乘估計的問題.利用誤差{ξn}n≥1的一些矩信息量，我們給出了未知參數(shù)θ的最小二乘估計θn的一些概率不等式.例如在一定的條件下，對所有ρ＞0和所有n≥1有P(n1/2|θn-θ0|＞ρ)≤C(p)/np/2ρ-p(nΣi=1E|ξi|p+(n∑i=1(E|ξi|p)2/p)p/2）

11、，p＞2，P(n1/2|θn-θ0|＞ρ)≤C(p)/np/2ρ-pnΣi=1E|ξi|p,1＜p≤2.我們給出了一些例子，對某個p＞1，當誤差supn≥1E|ξn|p=∞或supn≥1E|ξn|p＜∞時，我們的結(jié)論仍然適用或可獲得到更小的上界.當誤差{ξn}n≥1是(ρ)-混合序列、NOD序列、AANA序列及Lp-mixingale序列時，我們同樣獲得了非線性回歸模型的未知參數(shù)θ的最小二乘估計θn的一些概率不等式.我們的結(jié)論推廣和改進