非均質(zhì)材料動力及非線性分析的多尺度有限元方法研究.pdf

1、眾所周知，自然界中的很多材料都具有多尺度特征，如多孔介質(zhì)、動物的骨骼、超大型機械中的復合材料等，這些材料的最大特征尺寸與最小特征尺寸相差甚大。對于這類非均質(zhì)材料的力學行為，如果用傳統(tǒng)計算方法（有限單元法、有限差分法等）來進行分析，則要求網(wǎng)格的尺寸必須要小于材料的最小特征尺寸，這就使得計算量巨大，甚至不可行。針對這一實際問題，研究學者們發(fā)展了很多種多尺度方法，如均勻化方法、代表體元法等，然而這些方法通常具有周期性假設(shè)，而且很難得到細尺度上

2、的解。因此，尋求一種高效的多尺度計算方法已經(jīng)成為當前的研究熱點。
　　本文首先介紹了一種針對非均質(zhì)材料的線彈性靜力學分析的擴展多尺度有限元方法(EMsFEM)。該方法的主要思想是通過數(shù)值構(gòu)造粗單元的基函數(shù)，將子網(wǎng)格上的微觀非均質(zhì)性質(zhì)帶到宏觀尺度上來，這樣原問題就可以直接在宏觀尺度上進行求解，節(jié)省了大量的計算量和計算時間。對于固體力學問題，考慮了粗單元內(nèi)部不同方向之間的泊松效應，在數(shù)值基函數(shù)中添加了附加耦合項，明顯提高了計算精度。本

3、文簡要介紹了擴展多尺度有限元方法的基本計算思想、四種常用的構(gòu)造數(shù)值基函數(shù)的方法、宏觀分析和降尺度計算等。
　　受數(shù)值基函數(shù)中附加耦合項的啟發(fā)，本文基于傳統(tǒng)平面四節(jié)點四邊形(Q4)單元，提出了一種新的平面四節(jié)點廣義等參單元，在位移插值函數(shù)中添加了附加耦合項，考慮了單元內(nèi)部不同方向之間的泊松效應的影響。與傳統(tǒng)Q4單元相比，該單元沒有額外增加自由度，明顯提高了計算精度。相鄰的新單元之間是完全協(xié)調(diào)的，因此該單元屬于協(xié)調(diào)單元。本文詳細驗證了

4、該新單元可以滿足分片試驗的要求，并考察了不同形式的附加耦合項對計算結(jié)果的影響。
　　幾何非線性是固體力學中最常見的問題之一，本文將擴展多尺度有限元方法與共旋坐標法相結(jié)合，針對非均質(zhì)材料的大位移小應變問題，發(fā)展了一種多尺度分析列式，使得擴展多尺度有限元方法可以有效地應用到幾何非線性問題中。主要步驟如下:首先，利用數(shù)值基函數(shù)將一個非均質(zhì)單胞等效為一個粗單元（宏觀單元）;然后，在宏觀單元上運用共旋坐標列式來計算宏觀單元的等效切線剛度矩陣

5、，進而形成整個結(jié)構(gòu)的等效切線剛度矩陣，并得到宏觀網(wǎng)格節(jié)點的位移;最后，再次利用數(shù)值基函數(shù)得到微觀的位移結(jié)果，進一步可以得到微觀的應力結(jié)果。
　　另外，本文針對非均質(zhì)材料的線彈性動力問題，還提出了一種高效的多尺度計算方法。對于靜力問題，結(jié)構(gòu)的位移只與結(jié)構(gòu)的剛度和外力載荷直接相關(guān);而對于動力問題，還需考慮結(jié)構(gòu)的慣性力。而原始的擴展多尺度有限元法中的數(shù)值基函數(shù)是在子網(wǎng)格域上通過求解靜力平衡方程得到的。然而，對于動力問題，結(jié)構(gòu)的位移還與慣

6、性力相關(guān)。原始的擴展多尺度有限元法中的數(shù)值基函數(shù)中沒有考慮單胞的動態(tài)效應。對于動力問題，這不可避免地將產(chǎn)生較大的誤差。因此，為了減小誤差提高原始的擴展多尺度有限元法的計算精度，需要考慮單胞的慣性效應。正因為如此，本文在原始的多尺度基函數(shù)中引入了模態(tài)基函數(shù)。另外，對二維問題，在擴展多尺度有限元法中用的都是四節(jié)點宏觀單元，該單元的變形模式相對簡單，這種單元只能描述相對簡單的低階變形，對于更為復雜的變形則顯得無能為力。如果用這種四節(jié)點的宏觀單

7、元來描述較為復雜的變形，則必須要將粗網(wǎng)格加密，但是這樣擴展多尺度有限元法的計算效率就會大大降低。因此，為了在不增加太多計算量的同時又確保計算精度，本文提出了一種多節(jié)點宏觀單元。
　　然后，基于所提出的多節(jié)點宏觀單元，進一步研究了非均質(zhì)材料多尺度彈塑性動力問題，提出了一種新的局部位移修正技術(shù)。當材料發(fā)生塑性變形時，單胞內(nèi)部將產(chǎn)生不平衡力。這些不平衡力一部分被多尺度基函數(shù)帶到宏觀方程中參與平衡迭代，而另一部分則被忽略。如果不采取措施，