數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-行列式解法技巧

1、<p><b>　　目　　錄</b></p><p>　　1行列式的基本理論3</p><p>　　1.1行列式定義3</p><p>　　1.2行列式的性質(zhì)3</p><p>　　1.3 基本理論5</p><p>　　1.4幾種特殊行列式的結果5</p>&l

2、t;p>　　2行列式的計算技6</p><p><b>　　2.1定義法6</b></p><p>　　2.2化成三角形行列式法7</p><p>　　2.3兩條線型行列式的計算8</p><p>　　2.4箭型行列式的計算9</p><p>　　2.5三對角行列式的計算10&l

3、t;/p><p>　　2.6利用范德蒙行列式11</p><p>　　2.7 Hessenberg 型行列式的計算12</p><p><b>　　2.8降階法13</b></p><p>　　2.9加邊法（升階法）14</p><p>　　2.10計算行（列）和相等的行列式15</p

4、><p>　　2.11 相鄰行（列）元素差1的行列式計算15</p><p>　　2.12線性因子法16</p><p>　　2.13輔助行列式法17</p><p>　　2.14 階循環(huán)行列式算法18</p><p>　　2.15有關矩陣的行列式計算20</p><p>　　2.16用構

5、造法解行列式21</p><p>　　2.17利用拉普拉斯展開21</p><p>　　3 用多種方法解題22</p><p><b>　　參考文獻：26</b></p><p>　　【內(nèi)容摘要】行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學中有著廣泛的應用，懂得如何計算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的

6、基本理論，然后介紹各種具體的方法，最后由行列式與其它知識的聯(lián)系介紹其它幾種方法。通過這一系列的方法進一步提高我們對行列式的認識，對我們以后的學習帶來十分有益的幫助。</p><p>　　【關鍵詞】行列式 ； 矩陣； 范德蒙行列式 ； 遞推法 </p><p>　　Abstract: Determinant is an basic and important subject in advan

7、ced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other det

8、erminant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help.</p><p>　　Keyword

9、s: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant； recurrence method</p><p><b>　　引 言</b></p><p>　　行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必要對行列式進行較深入的認識，本文對行列式的解題技巧進行總結歸納。 作為行列式本身而言，我們除了利

10、用行列式的性質(zhì)化三角行列式和按行或列展開公式使行列式降階這些常用的手法外，要根據(jù)行列式不同的特點采用特殊的方法，如遞推法，數(shù)學歸納法，加邊法（ 升階法），以及利用范德蒙行列式的結論等等。</p><p><b>　　1行列式的基本理論</b></p><p><b>　　1.1行列式定義</b></p><p>　　定義

11、行列式與矩陣不同，行列式是一個值，它是所有不同行不同列的數(shù)的積的和，那些數(shù)的乘積符號由他們的逆序數(shù)之和有關，逆序數(shù)之和為偶數(shù)符號為正，逆序數(shù)之和為奇數(shù)符號為負。這一定義可以寫成,這里表示對所有級排列求和.</p><p>　　1.2行列式的性質(zhì) </p><p>　　1、行列式的行列互換，行列式不變；</p><p>　　2、互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號

12、；</p><p>　　3、行列式中某行乘以一個數(shù)等于行列式乘以這個數(shù)；</p><p>　　4、行列式的某兩行或者某兩列成比例，行列式為零；</p><p>　　5、行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或兩行的和時，行列式可拆另兩個行列式的和。</p><p>　　6、把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。</p><p&

13、gt;　　7、行列式有兩行（列）相同，則行列式為零。</p><p><b>　　1.3 基本理論</b></p><p>　　1．其中為元素代數(shù)余子式。</p><p><b>　　2．降階定理</b></p><p><b>　　3．</b></p><

14、p><b>　　4．</b></p><p>　　5．非零矩陣k左乘行列式的某一行加到另一行上，則新的分塊行列式與原來相等。</p><p>　　1.4幾種特殊行列式的結果</p><p><b>　　1． 三角行列式</b></p><p><b>　　(上三角行列式)</b

15、></p><p><b>　　(下三角行列式)</b></p><p><b>　　2． 對角行列式</b></p><p>　　3．對稱與反對稱行列式</p><p>　　滿足，D稱為對稱行列式</p><p>　　滿足，D稱為反對稱行列式。若階數(shù)n為奇數(shù)時，則D=

16、0</p><p><b>　　4．</b></p><p><b>　　2行列式的計算技巧</b></p><p><b>　　2.1定義法</b></p><p><b>　　例1：計算行列式</b></p><p>　　解：由

17、行列式定義知，且， 所以D的非零項j，只能取2或3，同理由，因而只能取2或3，又因要求各不相同，故項中至少有一個必須取零，所以D=0。</p><p>　　2.2化成三角形行列式法</p><p>　　將行列式化為上三角形行列式計算步驟，如果第一行第一個元素為零，首先將第一行(或第一列)與其它任一行(或列)交換，使第一行第一個元素不為零，然后把第一行分別乘以適當數(shù)加到其它各行，使第一列除第

18、一個元素外其余元素全為零，再用同樣的方法處理除去第一行加第一列余下的低階行列式依次做下去，直至是它成為上三角形行列式，這時主對角線上元素的乘積就是行列式的值。</p><p><b>　　例2 計算行列式</b></p><p>　　解：各行加到第一行中去</p><p><b>　　例3 計算行列式</b></p&

19、gt;<p>　　解：從倒數(shù)第二行(-1)倍加到第n行</p><p>　　2.3兩條線型行列式的計算</p><p>　　除了較簡單的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定義直接計算，少數(shù)幾類行列式可利用行列式性質(zhì)直接計算外，一般行列式計算的主要方法是利用行列式的性質(zhì)做恒等變形化簡，使行列式中出現(xiàn)較多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值來計算（如上（下）三角行列式等）或利用

20、按行（列）展開定理降低行列式的階數(shù)。</p><p><b>　　例4 .</b></p><p>　　解： 按第1列展開得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.4箭型行列式的計算</p><p>　　對于形如的所謂箭型（或爪形）行列式，可以直接

21、利用行列式性質(zhì)化為三角或次三角形行列式來計算，即利用對角元素或次對角元素將一條邊消為零。</p><p>　　例5 計算行列式 .</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　2.5三對角行列式的計算</p><p>　　對于形如的所謂三對角行列式，可直接展開得到兩項遞推關系，然后采用如下的一些方法求

22、解。</p><p>　　方法1 如果n比較小，則直接遞推計算</p><p>　　方法2 用第二數(shù)學歸納法證明：即驗證n=1時結論成立，設 時結論也成立，若證明n=k+1時結論也成立，則對任意自然數(shù)相應的結論成立</p><p>　　方法3 將變形為，其中, 由韋達定理知p和q是一元二次方程的兩個根。確定p和q后，令，則利用遞推求出，再由遞推求出。<

23、/p><p>　　方法4 設，代入得（稱之為特征方程），求出其根和（假設），則，這里，可通過n=1和n=2來確定。</p><p>　　例6 計算行列式 .</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　得 </b></p><p><b>

24、;　　同理，得 ,</b></p><p>　　所以 </p><p>　　2.6利用范德蒙行列式</p><p>　　范德蒙行列式具有逐行元素遞增的特點。因此遇到具有逐行（或列）元素方冪遞增或遞減的所謂范德蒙型的行列式時，可以考慮將其轉化為范德蒙行列式并利用相應的結果求值</p><p>　　例7

25、 計算行列式 .</p><p>　　解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此推直到把新的第行的-1倍加到第行，便得范德蒙行列式 </p><p><b>　　. </b></p><p>　　2.7 Hessenberg 型行列式的計算</p><p>　　對于形如，的所謂Hessenbe

26、rg型行列式，可直接展開得到遞推公式，也可利用行列式的性質(zhì)化簡并降階。</p><p>　　例8 計算行列式 </p><p>　　解： 將第1，2··n-1 列加到第n列，得</p><p><b>　　2.8降階法</b></p><p>　　將行列式的展開定理與行列式性質(zhì)結合使用，即先利用性

27、質(zhì)將行列式的某一行(或某一列)化成僅含一個非零元素，然后按此行(列)展開，化成低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式直接計算出結果。</p><p><b>　　左邊</b></p><p><b>　　例9 計算行列式</b></p><p><b>　　，其中，</b></p

28、><p><b>　　解：</b></p><p>　　2.9加邊法（升階法）</p><p>　　行列式計算的一般方法是降階，但對于某些特殊的n階行列式，如除對角元（或次對角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有時加上一行一列變成n+1階的行列式，特別是第1列為并適當選擇第1行的元素，就可以使消零化簡單方便，且化簡后常變成箭型行列式，這一方法稱

29、為升階法或加邊法</p><p>　　例10 計算階行列式.</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.10計算行（列）和相等的行列式</p><p>　　對于各行（或各列）之和相等的行列式，將其各列（或各行）

30、加到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化簡。</p><p>　　例11 計算n階行列式</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　2.11 相鄰行（列）元素差1的行列式計算 </p><p>　　以數(shù)字1，2，·

31、83;n為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素差1的n階行列式可以如下計算：自第1行（列）開始，前行（列）減去后行（列）；或自第n行（列）開始，后行（列）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為1或—1的行列式，再進一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素。</p><p>　　對于相鄰行（列）元素相差倍數(shù)k的行列式，采用前行（列）減去后行（列）的—k倍，或后行（列）減去前行（列）的—k倍的步驟，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素。&l

32、t;/p><p>　　例12 計算n階行列式</p><p><b>　　解</b></p><p><b>　　2.12線性因子法</b></p><p>　　例13 計算行列式(1) (2)</p><p>　　解：(1)由各列加上第一列可見，行列式D可被整除。由第二列加到

33、第一列，并減去第三、四列可見，可被整除，由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見，被整除。最后由第四列加于第一列，并減去第二、三列可見，可被整除。我們把視為獨立未知量，于是上述四個線性因子式是兩兩互素的，因此，可被它們的乘積整除。</p><p>　　此乘積中含有一項：，而中含有一項：</p><p><b>　　所以</b></p><p>

34、　　(2)將行列式的前兩行和兩列分別對換，得</p><p>　　如果以代替，又得原來形式的行列式。因此，如果含有因式，必含有因式，由于當時，有兩列相同，故確有因式，從而含有因式。同理又含有因式，而的展開式中有一項：，從而</p><p>　　例14 計算行列式：</p><p>　　解：由階行列式定義知，的展開式是關于的首項系數(shù)為的次多項式當時，因此有個互異根0，

35、1、2…由因式定理得 </p><p><b>　　故 </b></p><p>　　2.13輔助行列式法</p><p>　　例15 計算行列式 </p><p>　　其中為次數(shù)≤的數(shù)域F上多項式為F中任意個數(shù)。</p><p>　　解：若中有兩個數(shù)相等，則</p><p

36、>　　若互異，則每個階行列式</p><p>　　是的線性組合，據(jù)題的次數(shù)≤因而的次數(shù)≤但 </p><p>　　這說明至少有個不同的根，故所以即</p><p>　　2.14 階循環(huán)行列式算法</p><p>　　例16 計算行列式其中</p><p>　　解：設且令的個根為則</p><p

37、><b>　　由有</b></p><p><b>　　利用關系式</b></p><p><b>　　得</b></p><p>　　例17 設都是的可微函數(shù)</p><p><b>　　證明：</b></p><p>&l

38、t;b>　　證明：</b></p><p>　　2.15有關矩陣的行列式計算</p><p>　　例18 設A與B為同階方陣：</p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　例19設A為階可逆方陣

39、，、為兩個維列向量，則</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　例20 若階方陣A與B且第列不同。</p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　證明： </b></p><p><b>　　∴

40、</b></p><p>　　2.16用構造法解行列式</p><p><b>　　例21 設</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　證明：構造出多項式：</p><p>　　2.17利用拉普拉斯展開</p><

41、;p>　　例22 證明：級行列式</p><p>　　證明：利用拉普拉斯展開定理，按第行展開有：</p><p>　　以上等式右端的級行列式均為“三角形行列式”。</p><p>　　計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算行列式的幾種方法，計算行列式時，我們應當針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。</p><p>&

42、lt;b>　　3 用多種方法解題</b></p><p>　　下面我們運用上面的介紹的各種方法，選用多種方法解題。</p><p><b>　　例23 計算：</b></p><p>　　法1：將第2,3,…，n行都加到第1行上去，得</p><p>　　再將第一行通乘，然后分別加到第2,3,…,n行上

43、，得</p><p>　　法2：將2,3,…,n行分別減去第1行得</p><p>　　再將第2,3,…,n列都加到第1列上去，</p><p><b>　　便有</b></p><p>　　法3：將添加一行及一列，構成階行列式</p><p>　　再將第2,3,…,n+1行分別減去第1行，于是有

44、</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　在時，顯然，在時，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　法4：令</b></p><p>　　將右式中第二個行列式的第2,

45、3,…,n列全加到第1列上去，再利用Laplace展開，所以得</p><p><b>　　例24 求證</b></p><p>　　證：若記，時，上述等式可簡記為</p><p>　　證法一：把第2行乘以，第3行乘以，…，第行乘以，全部加到第一行，再對第1行利用拉普拉斯定理展開，注意各項的符號應為，得證。</p><p&g

46、t;<b>　　證法二：對用歸納法</b></p><p><b>　　當時，，命題成立。</b></p><p>　　假設對于時命題成立，那么，當左下角單位矩陣為階(即)時，對最后一行展開，</p><p><b>　　其中，</b></p><p><b>　　而

47、按歸納法假設</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　證法三：利用分塊矩陣的乘法</p><p><b>　　兩邊取行列式，得</b></p><p>　　在演算一個問題時，需要仔細分析已給的條件，靈活運用已經(jīng)知道的性質(zhì)和已經(jīng)掌握的技巧，不要死套公式，這樣

48、就能很快求出答案。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　?。?］北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編.高等代數(shù).北京:高等教育出版社。</p><p>　?。?］劉學生,譚欣,王麗燕主編，高等數(shù)學學習指導與解題訓練.大連:大連理工大學出版社。</p><p>　　[3] 徐帥，陸全，張凱