數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文--數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

1、<p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　論文題目： 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué) </p><p>　　學(xué) 生 姓 名： </p><p>　　學(xué) 生 學(xué) 號： </p>&l

2、t;p>　　專 業(yè) 班 級： 2008級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)3班 </p><p>　　院 系 名 稱： 昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系 </p><p>　　指 導(dǎo) 老 師： </p><p>　　學(xué) 院

3、院 長： </p><p>　　2012 年 3 月</p><p><b>　　數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法與教學(xué)研究一直都是很多一線教師和家長

4、最熱衷探討的問題，此文就根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)出現(xiàn)的各種實(shí)例來進(jìn)行探討中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，探討各種數(shù)學(xué)題型的解題方法和歸納總結(jié)以及延伸出來的數(shù)學(xué)教學(xué)和發(fā)展。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；思想方法；數(shù)學(xué)發(fā)展。 </p><p>　　Maths Thinking Method</p><p><b>　　Abstract</b></p

5、><p>　　Way of thinking and teaching of secondary school mathematics has always been a lot of front-line teachers and parents are most keen to explore the issue, this article according to various examples of sec

6、ondary school mathematics for the secondary school mathematics teaching methods of thinking, to explore the kinds of questions of various mathematical problem solvingmethods and summarized, and extended from the mathemat

7、ics teaching and development.</p><p>　　Keywords: Secondary school mathematics; way of thinking; the development of mathematics.</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要‥‥‥‥‥‥‥

8、‥‥‥1</p><p>　　Abstract‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥2 </p><p>　　目錄‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥3</p><p>　　第一章 引言‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5</p><p>　　1.1數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的心理學(xué)意義‥‥‥‥‥

9、‥‥‥‥‥‥‥‥‥5</p><p>　　1.2中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7</p><p>　　第二章 數(shù)學(xué)思想方法實(shí)際應(yīng)用探討‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10</p><p>　　2.1函數(shù)與方程思想‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10</p><p>　　2.2數(shù)形結(jié)合思想‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

10、‥‥‥‥‥20</p><p>　　2.3數(shù)學(xué)歸納法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥24</p><p>　　第三章 結(jié)語‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥25</p><p><b>　　第一章 引言</b></p><p>　　1.1數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的心理學(xué)意義</p><p>　　美國心

11、理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)就是指，“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理?！薄皩W(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！睌?shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分，下面從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義。　　1.“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”。心理學(xué)認(rèn)為“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識，因而新知識與

12、舊知識所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)。”當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。 　　2.有利于記憶。布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會忘記?！薄皩W(xué)習(xí)基本原理的目的，

13、就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅</p><p>　　1.2中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法</p><p>　　數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。我們認(rèn)為

14、，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應(yīng)思想。其理由是：（1）這三個思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容。（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握。（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會比較多。（4）掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。 待定系數(shù)法的實(shí)例</p><p>　　例1.把多項(xiàng)式表示為關(guān)于的降冪排列形式.&

15、lt;/p><p><b>　　解：用待定系數(shù)法：</b></p><p>　　設(shè)=把右邊展開，合并同類項(xiàng)（把同類項(xiàng)對齊），</p><p><b>　　得= </b></p><p>　　用恒等式的性質(zhì)，比較同類項(xiàng)系數(shù)，</p><p>　　得解這個方程組，得 </p&g

16、t;<p><b>　　∴=</b></p><p>　　本題也可用換元法： </p><p>　　設(shè)x－1=y, 　那么x=y+1.</p><p>　　把左邊關(guān)于x的多項(xiàng)式化為關(guān)于y 的多項(xiàng)式，最后再把y換成x －1.</p><p>　　例2.已知： 是完全平方式.</p><p&

17、gt;<b>　　求： a和b的值.</b></p><p>　　解：設(shè)＝?。ㄔO(shè)待定的系數(shù)，要盡可能少.）</p><p>　　右邊展開，合并同類項(xiàng)，得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　比較左右兩邊同類項(xiàng)系數(shù)，得方程組 ；　 .</p><p>　

18、　解得 ：m=3，a=12,b=6.</p><p>　　例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 </p><p>　　【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對所有自然數(shù)n

19、都成立。</p><p>　　【解】假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝；n＝3，得70＝。整理得：</p><p><b>　　,解得，</b></p><p>　　于是對n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對任

20、意自然數(shù)n，該等式都成立：</p><p>　　假設(shè)對n＝k時等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；</p><p>　　當(dāng)n＝k＋1時，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[

21、3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，</p><p>　　也就是說，等式對n＝k＋1也成立。</p><p>　　綜上所述，當(dāng)a＝8、b＝11、c＝10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。</p><p>　　【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最

22、后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當(dāng)a＝8、b＝11、c＝10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。</p><p

23、>　　例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？</p><p>　　【分析】實(shí)際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。</p><p>　　【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－

24、2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為。</p><p>　　∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，</p><p>　　顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。</p><p><b>　　設(shè)V＝ </b></p><p>　　要使用均值不等式，則&

25、lt;/p><p>　　解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 </p><p>　　從而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。</p><p>　　所以當(dāng)x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。</p><p>　　【注】均值不等式應(yīng)用時要注意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答

26、中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。</p><p>　　2.3、待定系數(shù)法的實(shí)例再現(xiàn)</p><p>　　設(shè)f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。</p><p>　　A.

27、 , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2</p><p>　　二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。</p><p>　　A. 10 B. －10 C. 14 D. －14</p><p>　　在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數(shù)是___

28、__。</p><p>　　A. －297 B.－252 C. 297 D. 207</p><p>　　函數(shù)y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。</p><p>　　與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點(diǎn)A(1,-4)的直線的方程是_______________

29、。</p><p>　　與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是____________。</p><p>　　【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C；</p><p>　　2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D；&l

30、t;/p><p>　　3小題：分析x的系數(shù)由C與(－1)C兩項(xiàng)組成，相加后得x的系數(shù)，選D；</p><p>　　4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；</p><p>　　5小題：設(shè)直線的方程2x＋3y＋c＝0，點(diǎn)A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；</p><p>　　6小題：設(shè)雙

31、曲線方程x－＝λ，點(diǎn)(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。</p><p>　　在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)化與化歸是我們研究問題的最基本，最重要的思想方法，它無處不在，比如，處理立體幾何問題時，將空間問題轉(zhuǎn)化到一個平面上去解決；在解析幾何中通過建立坐標(biāo)系將幾何問題化歸為代數(shù)問題；復(fù)數(shù)問題歸化為實(shí)數(shù)問題。</p><p><b>　　1轉(zhuǎn)化與化歸的原則</b></

32、p><p>　　目標(biāo)簡單化原則：將復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化。</p><p>　　和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量，行關(guān)系上趨于統(tǒng)一的方向上進(jìn)行，使問題的條件和結(jié)論更均勻和恰當(dāng)。</p><p>　　具體化原則：即化歸方向應(yīng)有抽象到具體。</p><p>　　低層次原則：即將高維空間問題化歸成地維空間成低維空間

33、問題。</p><p>　　正難則反原則：即當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解。</p><p>　　2轉(zhuǎn)化與化歸常用到的方法</p><p>　　直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理，基本公式或基本圖形問題。</p><p>　　換原法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的

34、函數(shù)，方程，不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題。</p><p>　　數(shù)行結(jié)合法；研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑。</p><p>　　構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題。</p><p>　　坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑。</p>&

35、lt;p>　　類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑。</p><p>　　特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題。</p><p>　　等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價問題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的。</p><p>　　加強(qiáng)命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即命題的結(jié)論加強(qiáng)為原

36、命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時，原命題往往難以得證，這時常把結(jié)論加強(qiáng)，使之成為原命題的充分條件，從而易證。</p><p>　　本題以一元二次方程存在實(shí)數(shù)根為載體，考查含有絕對值的不等式的解法，求解決對值不等式一般通過脫去絕對值號轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組。</p><p>　　此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體

37、現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透。數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)。從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認(rèn)為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法，數(shù)形結(jié)合法，變換法，函數(shù)法和類分法等。一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的。 　　</p><p>　　

38、第二章 數(shù)學(xué)思想方法實(shí)際應(yīng)用探討</p><p>　　2.1函數(shù)與方程思想</p><p>　　函數(shù)與方程的思想是各種數(shù)學(xué)的一條主線，這不僅可以高中新課程內(nèi)容中一直是以函數(shù)為主線貫穿這一事實(shí)體現(xiàn)出來，而且函數(shù)與方程思想也是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的思想之一。函數(shù)思想使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)，數(shù)列，不等式，解析幾何等問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問題。</p><p&

39、gt;　　1函數(shù)思想是指運(yùn)用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，集合與對應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題，應(yīng)用非常廣泛。深刻理解函數(shù)一般函數(shù)的單調(diào)性，周期性，值域和圖像變換，熟練掌握一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的具體性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ)，挖掘隱含條件，從而恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)和靈活應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)是實(shí)施解決解題關(guān)鍵，它廣

40、泛地應(yīng)用于方程，不等式，數(shù)列等問題。</p><p>　　2與函數(shù)思想聯(lián)系的就是方程的思想。所謂方程的思想，就是在解決問題時，用設(shè)定的未知數(shù)溝通問題中所涉及的各種量間的制約關(guān)系，列出方程的思想，就是在解決問題時，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題中所涉及的各個量之間制約關(guān)系，列出方程組，從而求出未知數(shù)及各量的值，使問題的解決。所設(shè)的未知數(shù)，溝通了變量之間制約關(guān)系，方程可以看做未知量與已知量之間相互制約的條件，太架設(shè)了由已

41、知探索未知的橋梁，事實(shí)上方程f(x)=0的解就是函數(shù)y= f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y= f(x)也可以看做二元方程f(x)- y=0.通過方程進(jìn)行研究，方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系。</p><p>　　3函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在以下幾個方面：</p><p>　　函數(shù)與不等式相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)y= f(x)當(dāng)y﹥0時，就化為不等式f(x) ﹥0，

42、借助于函數(shù)的圖像和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式。</p><p>　　數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列的問題十分重要。</p><p>　　函數(shù)f(x)=（a+bx）^n(n∈N*)與二項(xiàng)式定理密切相關(guān)，利用這個函數(shù)，用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題及求和問題。</p><p>　　解析結(jié)合

43、問題中許多問題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決。這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。</p><p>　　立體幾何中有關(guān)線段，角，面積，體積的計(jì)算，經(jīng)常需要列方程或建立空間向量后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系就更加密切。</p><p><b>　　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用</b></p><p><b>　　2.2數(shù)

44、形結(jié)合思想</b></p><p>　　數(shù)行結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和以數(shù)輔形兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形；或者是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì);或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形做為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確的闡明曲線的幾何性質(zhì)。</p><p&

45、gt;　　2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則</p><p>　　等價性原則，要注意由于圖像不能精確刻量數(shù)量關(guān)系所帶來的負(fù)面效應(yīng)；</p><p>　　雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象代數(shù)探索，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯；</p><p>　　簡單性原則，不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時。一要考慮是否可行和是否有

46、利；二是選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參，用參，建立關(guān)系做好；三是要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇直線與定二次曲線。</p><p>　　3應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題，通常從以下幾個方面入手：</p><p><b>　　函數(shù)與函數(shù)圖象；</b></p><p><b>　　不等式與函數(shù)圖象；</b

47、></p><p><b>　　曲線與方程；</b></p><p>　　參數(shù)本身的幾何意義；</p><p><b>　　代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；</b></p><p>　　概念自身的幾何意義；</p><p>　　可行域與目標(biāo)函數(shù)最值；</p><p

48、><b>　　向量的兩重性。</b></p><p><b>　　數(shù)形結(jié)合法的典例</b></p><p>　　例1. 若方程 （＞0）的兩根滿足：＜1，1＜＜3，求的取值范圍。</p><p>　　解析：畫出與方程對應(yīng)的二次函數(shù) （＞0）的草圖：</p><p>　　由圖可知：當(dāng)=1時，＜

49、0； 當(dāng)=3時，＞0.</p><p>　　即 ＜0 ； ＞0.</p><p><b>　　解得：＜＜1.</b></p><p>　　例2.若關(guān)于x的不等式 的解集僅有一個元素，求的值。</p><p>　　解：如圖：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出與的圖象。題設(shè)條件等價于拋物線在直線與之間的帶狀區(qū)域僅有一個交點(diǎn)，且拋物線開

50、口向上。由圖形的直觀性質(zhì)可知：這個交點(diǎn)只能在直線上，故方程組 僅有一組解。</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　小結(jié)：對于參數(shù)方程（不等式），可將其與對應(yīng)的函數(shù)（圖象）聯(lián)系起來，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，去揭示問題中所蘊(yùn)含的幾何背景，往往能為解題提供清晰的思路。</p><p>　　例3.已知a、均為正數(shù)，且求的最小值。&l

51、t;/p><p>　　解：如圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=，</p><p>　　EB=，過A作ACAB，且AC=2，過B作BDAB，且BD=1。由勾股定理：CE=，BD=，原題即求CE+ED的最小值。</p><p>　　又如圖，延長CA至G,使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點(diǎn)共線時，GE+ED=DG最短。作出圖形，延長DB至

52、F，使BF//AG且BF=AG，連接GF.</p><p>　　則在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2</p><p>　　CE+DE的最小值是</p><p><b>　　即的最小值是</b></p><p>　　小結(jié)：此題由式子特點(diǎn)聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造圖形解決問題。</p><p>

53、;　　例4.如圖，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分別是AB、AC邊上的高。試證： </p><p>　　證明：（代數(shù)法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE</p><p><b>　　及S△ABC </b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>

54、;　?。?lt;/b></p><p><b>　　,=.</b></p><p><b>　　綜上：</b></p><p>　　小結(jié)：這種證明方法，采用了代數(shù)法，較之純幾何證法來，易于想到。</p><p>　　、數(shù)形結(jié)合法的實(shí)例再現(xiàn)</p><p>　　1.方程l

55、gx=sinx的根的個數(shù)( )</p><p>　　(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個</p><p>　　2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},則右圖中陰影部分表示的集合為( )</p><p>　　A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+

56、 )</p><p>　　3．函數(shù)圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）</p><p>　　A．B． C．D．</p><p>　　4．不等式組有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）</p><p><b>　　A．B．</b></p><p><b>

57、　　C．D．</b></p><p>　　5．已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)·cosx<0的解集是 （ ）</p><p>　　6．復(fù)數(shù)(x-2)+yi，其中x、y均為實(shí)數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時，的取值范圍是 </p><

58、p>　　7.已知關(guān)于x的方程x2-4|x|+5=m有四個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的范圍是_______.</p><p>　　8.設(shè)A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0}，則使AB成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.</p><p>　　【簡解】1．選C.在同一坐標(biāo)系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點(diǎn)數(shù)為3.</p>

59、;<p><b>　　2．答案：B</b></p><p><b>　　3．</b></p><p>　　作出不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，可求出面積，所以平面區(qū)域B的面積為1．</p><p><b>　　3．答案：D</b></p>

60、;<p><b>　　4．答案：A</b></p><p>　　5．選B.根據(jù)對稱性畫出</p><p>　　f(x)在（-3,0）上的圖象如</p><p>　　圖，結(jié)合y=cosx在(-3,0), </p><p>　　(0,3)上函數(shù)值的正負(fù),</p><p>　　易知不等式f

61、(x)cosx<0的解集是</p><p>　　6．由題意知，設(shè)，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)及原點(diǎn)的直線斜率，作圖如下：</p><p>　　又由對稱性，可得答案：</p><p><b>　　答案：</b></p><p>　　7．令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其圖象如圖. &

62、lt;/p><p>　　畫直線y=m,由圖象知當(dāng)1<m<5時，方程有四個不相等的實(shí)根.</p><p><b>　　答案：（1，5）</b></p><p>　　8．由于集合A，B都是點(diǎn)的集合,故可結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解.集合A是一個圓x2+(y-1)2=1上的點(diǎn)的集合,集合B是一個不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合, 要使

63、AB，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含（如圖），</p><p>　　即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，而當(dāng)直線與圓相切時有</p><p>　　故m的取值范圍是m≥-1.</p><p><b>　　答案：m≥-1</b></p><p><b>　　2.3數(shù)學(xué)歸納法</b></p

64、><p><b>　　數(shù)學(xué)歸納法的簡述</b></p><p>　　歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在高中數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與

65、自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解高中數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n )時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或n≥n 且n∈N）結(jié)論都正確”。由

66、這兩步可以看出，高中數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用高中數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解</p><p><b>　　數(shù)學(xué)歸納法的典例</b></p><p>　　例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：</p&g

67、t;<p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　請讀者分析下面的證法：</p><p>　　證明：①n=1時，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立．</p><p>　　②假設(shè)n=k時，等式成立，即：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>

68、　　那么當(dāng)n=k+1時，有：</p><p>　　這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式亦成立．</p><p>　　由①、②可知，對一切自然數(shù)n等式成立．</p><p>　　評述：上面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的方法是錯誤的，這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，當(dāng)n=k+1時，而是用拆項(xiàng)法推出來的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求．</p&g

69、t;<p>　　正確方法是：當(dāng)n=k+1時．</p><p>　　這就說明，當(dāng)n=k+1時，等式亦成立，</p><p>　　例2．是否存在一個等差數(shù)列{an}，使得對任何自然數(shù)n，等式：</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)</p><p>　　都成立，并證明你的結(jié)論．</p>

70、;<p>　　分析：采用由特殊到一般的思維方法，先令n=1，2，3時找出來{an}，然后再證明一般性． </p><p>　　解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組．</p><p><b>　　，</b></p><p>　　解得a1=6，a2=9，a3=12，則d=3．</p><p>　　故存在

71、一個等差數(shù)列an=3n+3，當(dāng)n=1，2，3時，已知等式成立．</p><p>　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個等差數(shù)列an=3n+3，對大于3的自然數(shù)，等式</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．</p><p>　　因?yàn)槠鹗贾狄炎C，可證第二步驟． </p><p>　　假設(shè)n=k時，等式成立

72、，即</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)</p><p>　　那么當(dāng)n=k+1時， </p><p>　　a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1</p><p>　　= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]</p><p>　　=(k

73、+1)(k2+2k+3k+6)</p><p>　　=(k+1)(k+2)(k+3)</p><p>　　=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]</p><p>　　這就是說，當(dāng)n=k+1時，也存在一個等差數(shù)列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．</p><p>　　綜合上述，可知存在一個等

74、差數(shù)列an=3n+3，對任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．</p><p>　　例3．證明不等式 (n∈N)．</p><p>　　證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=2．</p><p>　　左邊<右邊，不等式成立．</p><p>　　②假設(shè)n=k時，不等式成立，即．</p>

75、;<p>　　那么當(dāng)n=k+1時，</p><p>　　這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式成立．</p><p>　　由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立．</p><p>　　說明：這里要注意，當(dāng)n=k+1時，要證的目標(biāo)是</p><p>　　，當(dāng)代入歸納假設(shè)后，就是要證明：</p><p><

76、;b>　?。?lt;/b></p><p>　　認(rèn)識了這個目標(biāo)，于是就可朝這個目標(biāo)證下去，并進(jìn)行有關(guān)的變形，達(dá)到這個目標(biāo)．</p><p>　　例4．已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1，當(dāng)n∈N時，an+2=an+1+an．</p><p>　　求證：數(shù)列{an}的第4m+1項(xiàng)(m∈N)能被3整除．</p><p>　　分析：

77、本題由an+1=an+1+an求出通項(xiàng)公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法．</p><p>　?、佼?dāng)m=1時，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．</p><p>　?、诋?dāng)m=k時，a4k+1能被3整除，那么當(dāng)n=k+1時，</p><p>　　a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+

78、a4k+3</p><p>　　=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1</p><p>　　=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1</p><p>　　=3a4k+2+2a4k+1</p><p>　　由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．</p&g

79、t;<p>　　因此，當(dāng)m=k+1時，a4(k+1)+1也能被3整除．</p><p>　　由①、②可知，對一切自然數(shù)m∈N，數(shù)列{an}中的第4m+1項(xiàng)都能被3整除．</p><p>　　數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)例再現(xiàn)</p><p>　　1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），從“k

80、到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_____。</p><p>　　A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. </p><p>　　2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋<n (n>1)時，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個數(shù)是_____。</p><p>　　A.

81、 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1</p><p>　　3. 某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k (k∈N)時該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立?，F(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)</p><p>　　A.當(dāng)n＝6時該命題不成立 B.當(dāng)n＝6時該命題成立<

82、;/p><p>　　C.當(dāng)n＝4時該命題不成立 D.當(dāng)n＝4時該命題成立</p><p>　　4. 數(shù)列{a}中，已知a＝1，當(dāng)n≥2時a＝a＋2n－1，依次計(jì)算a、a、a后，猜想a的表達(dá)式是_____。</p><p>　　A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3</p>&l

83、t;p>　　5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明3＋5 (n∈N)能被14整除，當(dāng)n＝k＋1時對于式子3＋5應(yīng)變形為_______________________。</p><p>　　6. 設(shè)k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱對角面的個數(shù)為f(k+1)＝f(k)＋_________。</p><p>　　【簡解】1小題：n＝k時，左端的代數(shù)式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時

84、，左端的代數(shù)式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為，選B；</p><p>　　2小題：（2－1）－（2－1）＝2，選C；</p><p>　　3小題：原命題與逆否命題等價，若n＝k＋1時命題不成立，則n＝k命題不成立，選C。</p><p>　　4小題：計(jì)算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，選B；</p>&

85、lt;p>　　5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）；</p><p>　　6小題：答案k－1。</p><p><b>　　第三章 結(jié)語</b></p><p>　　數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中尤為重要，以及各種思想方法在數(shù)學(xué)當(dāng)中可以說貫穿了整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，我們從各個方面來探討和剖析了數(shù)學(xué)當(dāng)中的方法和實(shí)例，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各種方法也

86、可以增加我們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識和充分的了解，進(jìn)一步加強(qiáng)我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和思考。</p><p>　　參考文獻(xiàn)：中學(xué)數(shù)學(xué)教材全解，陜西人民教育出版社</p><p>　　[1] 布魯納．教育過程．上海人民出版社，1973． 　　[2]崔錄等．現(xiàn)代教育思想精粹．光明日報出版社，1987． 　　[3]邵瑞珍等．教育心理學(xué)．上海教育出版社，1985．</p><p>&