馬爾柯夫鏈在班級成績預(yù)測中的應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　馬爾柯夫鏈在班級成績預(yù)測中的應(yīng)用 </p><p>　　所在學(xué)院 </p>

2、;<p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p&

3、gt;<b>　　摘要</b></p><p>　　馬爾柯夫鏈是狀態(tài)離散、時間為非負整數(shù)、無后效性的隨機過程, 很多社會現(xiàn)象和自然現(xiàn)象都符合該隨機過程, 因此被廣泛的應(yīng)用生產(chǎn)實踐當(dāng)中. 本文首先從馬氏鏈的基本理論入手, 介紹馬爾柯夫鏈的思想起源, 主要應(yīng)用方向及研究成果, 接著討論了馬爾柯夫鏈轉(zhuǎn)移概率計算方法, 其次建立了馬氏鏈應(yīng)用到教育領(lǐng)域的預(yù)測模型, 并且對該模型進行實際應(yīng)用, 預(yù)測某小

4、學(xué)一班級未來三年的綜合成績, 取得了較好的效果, 為教師教育工作提供數(shù)據(jù)參考. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 馬爾柯夫鏈; 轉(zhuǎn)移概率; 成績預(yù)測</p><p>　　Markov Chain Prediction for The Application of Academic Classes</p><p><b>　　Abstract&l

5、t;/b></p><p>　　Markov chain is a stochastic process, in which the state is discrete, the time nonnegative integer and no aftereffect, a lot of social phenomenon and natural phenomenon all conform to the s

6、tochastic process. It is widely used in the social production practice. In this paper，firstly，we introduce the basic theory of Markov chain, the thought origin of Markov chain and the main application direction and resea

7、rch. Secondly we discuss the probability calculation method of Markov chain transfer. Third</p><p>　　Keyword: Markov chain; Transition probability; Education Prediction</p><p><b>　　目錄</

8、b></p><p><b>　　摘要Ⅰ</b></p><p>　　AbstractⅡ</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 馬爾柯夫鏈簡介1</p><p>　　1.2 馬爾柯夫鏈研究成果1</p>

9、<p>　　1.3 馬爾柯夫鏈在教育領(lǐng)域的應(yīng)用背景2</p><p>　　2 馬爾柯夫鏈理論概述3</p><p>　　2.1 馬爾柯夫鏈的定義3</p><p>　　2.2 馬爾柯夫鏈狀態(tài)分類4</p><p>　　2.3 離散時間的馬爾柯夫鏈5</p><p>　　2.4 連續(xù)時間的馬

10、爾柯夫鏈5</p><p>　　3 馬爾柯夫鏈關(guān)于成績預(yù)測的模型及應(yīng)用7</p><p>　　3.1 馬爾柯夫鏈關(guān)于成績預(yù)測的模型7</p><p>　　3.2 馬爾柯夫鏈預(yù)測模型的應(yīng)用9</p><p><b>　　4 小結(jié)12</b></p><p><b>　　參考文

11、獻13</b></p><p><b>　　致謝14</b></p><p><b>　　1前言</b></p><p>　　1.1馬爾柯夫鏈簡介</p><p>　　馬爾柯夫是享譽世界的著名數(shù)學(xué)家. 他在概率論、數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)論、函數(shù)逼近論、微分方程、數(shù)的集合等領(lǐng)域都有建樹. 在19

12、06~1912年間, 馬爾柯夫提出并研究了一種能用數(shù)學(xué)方法研究自然過程的一般圖示, 人們把這種圖示用他的姓氏命名為馬爾柯夫鏈(Markov Chain). 同時他第一次提出了對一種無后效性的隨機過程的研究, 即在已知當(dāng)前狀態(tài)的情況下, 未來狀態(tài)與其過去狀態(tài)無關(guān)的過程, 這就是現(xiàn)在眾所周知的馬爾柯夫過程(Markov Process). 所謂馬爾柯夫鏈就是在“現(xiàn)在”的條件下, “過去”與“將來”都是相互獨立的, 即如果某一時刻系統(tǒng)狀態(tài)的概

13、率分布與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)，與以前的狀態(tài)無關(guān)，則該系統(tǒng)符合馬爾柯夫性或者無后效性, 具有馬爾柯夫性的隨機過程稱為馬爾柯夫過程對于時間和狀態(tài)都是離散的的馬爾柯夫過程稱為馬爾科夫鏈. 馬爾柯夫理論極大的豐富了概率論的內(nèi)容, 它是研究自然科學(xué)和技術(shù)最有效的數(shù)學(xué)方法之一. 馬爾柯夫預(yù)測是馬爾科夫鏈在預(yù)測領(lǐng)域的一種應(yīng)用, 它是描述一類隨機動態(tài)系統(tǒng)的模型, 是指系統(tǒng)在每一個時間所處的狀態(tài)是隨機的, 從當(dāng)前時間到下一時間的狀態(tài)按一定的概率轉(zhuǎn)移, 但未

14、來狀</p><p>　　馬爾柯夫決策過程, 簡稱馬氏決策. 由馬爾柯夫鏈的描述可知它的過程有如下三個特點: 過程的隨機性、過程的離散性和過程的馬爾柯夫性. </p><p>　　1.2 馬爾柯夫鏈研究成果</p><p>　　馬爾柯夫鏈預(yù)測方法在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的重點和熱點, 研究成果也相對比較多, 理論也相對比較成熟, 主要體現(xiàn)在:</

15、p><p>　　(1) 人力資源流動時間序列都符合馬氏性. 可按轉(zhuǎn)移概率, 根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)預(yù)測以后的狀態(tài)預(yù)測以后的狀態(tài), 從而采取相應(yīng)的策略. </p><p>　　(2) 馬爾柯夫鏈在宏觀經(jīng)濟形式的變化、企業(yè)市場占有率及期望利潤的變化過程都具有隨機性和無后效性, 都符合馬爾柯夫鏈的的應(yīng)用要求. 在對它們進行預(yù)測時, 馬爾柯夫鏈預(yù)測方法不需要連續(xù)不斷的歷史數(shù)據(jù), 只需要近期的資料就可以采用馬爾

16、柯夫鏈來描述. 這就是運用馬爾柯夫鏈的方法進行預(yù)測市場的占有率和期望利潤分析的基本思想.. </p><p>　?。?）在很多災(zāi)變的過程中，馬爾柯夫鏈都已一定的參考性，比如應(yīng)用馬爾柯夫鏈方法測報草原蝗蟲. 蝗蟲是漸變態(tài), 即若蟲和成蟲棲息于同一生境, 并取食相同的食物即草原牧草. 了解蝗蟲的出土期、系統(tǒng)地掌握蝗蟲的個體發(fā)育以及種群數(shù)量動態(tài)變化, 對草原畜牧業(yè)生產(chǎn)具有非常大的參考作用.</p>

17、<p>　?。?）利用馬氏鏈模型預(yù)測寧南旱情. 寧南山區(qū)干旱頻繁, 嚴重影響農(nóng)業(yè)生產(chǎn). 根據(jù)固原氣象站降雨量資料, 應(yīng)用馬爾柯夫鏈模型預(yù)測該地區(qū)年降雨量與旱情趨勢, 對該區(qū)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)有參考價值.</p><p>　　（5）市場占有率及期望利潤的馬爾柯夫鏈預(yù)測. 運用馬爾柯夫鏈理論對商品銷售的市場占有率預(yù)測和期望利潤預(yù)測進行了研究, 取得了一定的效果. </p><p>　　馬爾柯夫

18、鏈在其它領(lǐng)域的應(yīng)用還有很多, 比如馬氏鏈在房地產(chǎn)市場營銷, 機車管理預(yù)測, 大白菜年景預(yù)測, 貴重器材需求預(yù)測, 國際工程投標(biāo)風(fēng)險預(yù)測, 中國各地區(qū)人均GDP的馬爾科夫預(yù)測及變動分析中得到了很好的應(yīng)用. </p><p>　　1.3 馬爾柯夫鏈在教育領(lǐng)域應(yīng)用背景</p><p>　　在教育領(lǐng)域進行預(yù)測和決策從整體上看有一定的規(guī)律, 班級成績預(yù)測和課程研究的任務(wù), 就在于認識班級活動中的各種

19、規(guī)律. 班級成績變化現(xiàn)象是個隨時間變化的過程, 可以視為已相依的隨機變量序列, 其前后影響因素是錯綜復(fù)雜的, 并且符合馬氏鏈的三大特點即過程的隨機性, 過程的馬爾科夫性, 過程的離散性, 可視為隨機馬爾科夫過程. 在檢測其具有一定的馬氏性后, 然后根據(jù)一個指標(biāo)把系統(tǒng)劃分為多個變化區(qū)間, 可以建立馬爾柯夫鏈模型來做預(yù)測分析. 最重要的是根據(jù)實際觀測資料對某些刻畫系統(tǒng)的關(guān)鍵定量指標(biāo)進行系統(tǒng)分析, 標(biāo)準的預(yù)測未來. 本文擬利用馬爾柯夫鏈在教育

20、領(lǐng)域j建立班級成績預(yù)測模型, 希望能給教師教育工作帶來一定的幫助.</p><p>　　2馬爾柯夫鏈理論概述</p><p>　　2.1 馬爾柯夫鏈定義</p><p>　　馬爾柯夫鏈是狀態(tài)離散、時間為非負整數(shù)、無后效性的隨機過程. 無后效性是指當(dāng)過程的現(xiàn)在狀態(tài)為已知時, 未來狀態(tài)與過去狀態(tài)無關(guān), 而只與當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān). 無后效性的數(shù)學(xué)表述為：即在某一時刻狀態(tài)條件下

21、的條件概率與所取的值無關(guān)而僅與所取的值有關(guān). 若從時刻處于狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時刻處于狀態(tài) 的一步轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移的起始時間無關(guān), 而只與有關(guān), 則稱其為齊次馬爾柯夫鏈.</p><p>　　當(dāng)隨機過程在時刻所處的狀態(tài)已知時, 在時刻所處的狀態(tài)近于時的狀態(tài)有關(guān), 而與以前的狀態(tài)無關(guān), 這種隨機過程為馬爾柯夫過程. 用分布函數(shù)來描述: 若在條件</p><p><b>　?。?.1.1）<

22、;/b></p><p>　　下的的分布函數(shù)恰好等于條件下的分布函數(shù), 即 </p><p><b>　　（2.1.2）</b></p><p>　　則稱為馬爾柯夫過程.</p><p>　　定義2.1.1 設(shè)馬爾柯夫鏈在時取狀態(tài)的概率分別為，而，向量稱為時的狀態(tài)概率向量.</p><p>

23、;　　定義2.1.2 設(shè)系統(tǒng)可能出現(xiàn)個狀態(tài), 則系統(tǒng)由時刻從轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 時刻的概率就稱為從到的轉(zhuǎn)移概率，也稱一步轉(zhuǎn)移概率，記為: </p><p>　　. （2.1.3）</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在一定條件下, 系統(tǒng)只能在可能出現(xiàn)的狀態(tài)中轉(zhuǎn)移, 系統(tǒng)所有狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的可能性用表示, 定義為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概矩陣: </p>&l

24、t;p><b>　　.</b></p><p><b>　　概率矩陣: </b></p><p>　　. （2.1.4）</p><p>　　一般的, 將滿足（2.1.4）的任意矩陣都叫做隨機矩陣或者概率矩陣.</p><p>　　一般來說, 轉(zhuǎn)

25、移概率不僅僅與狀態(tài)有關(guān), 而且還與時刻有關(guān). 當(dāng)不依賴于時刻時, 則表示馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率. 如果對任意的, 馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率都與無關(guān), 則稱馬爾可夫鏈是齊次的, 在本文主要研究齊次馬爾可夫鏈. </p><p>　　齊次馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率有如下性質(zhì): </p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>

26、;　　(2) .</b></p><p>　　2.2 馬爾柯夫鏈的狀態(tài)分類</p><p>　　假設(shè) 是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間, 一步轉(zhuǎn)移概率是, 我們用概率性質(zhì)對狀態(tài)進行分類. </p><p>　　定義2.2.1 設(shè)是馬氏鏈的狀態(tài)空間, 則有:</p><p>　　如果=1, 則稱是吸引狀態(tài);</p><

27、;p>　　如果存在使, 則通, 記為;</p><p>　　如果并且, 則互通, 記為.</p><p>　　互通關(guān)系具有以下幾個性質(zhì)：</p><p><b>　　（a）反身性: ;</b></p><p>　?。╞）對稱性: 若 , 則;</p><p>　　（c）傳遞性: 若, 則.

28、</p><p>　　為了定義常返和非常返狀態(tài), 對馬氏鏈, 需要引進條件概率</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, . </b></p><p>　　是以質(zhì)點從出發(fā)當(dāng)作條件, 第步首次到達的概率, 稱為首達概率. </p><p>

29、　　2.3 離散時間馬爾柯夫鏈</p><p>　　定義2.3.1 如果對任何正整數(shù)和中的, 隨機序列滿足</p><p><b>　　(2.3.1)</b></p><p>　　則稱為時齊的馬爾柯夫鏈, 簡稱馬氏鏈. 這時稱</p><p><b>　　(2.3.2）</b></p>

30、<p>　　為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率, 稱矩陣</p><p><b>　　(2.3.3)</b></p><p>　　為馬氏鏈一步轉(zhuǎn)移概率矩陣, 簡稱概率矩陣.</p><p>　　由于是完備事件組, 所以得到</p><p>　　. (2.3.4)</p><p>　　于

31、是轉(zhuǎn)移矩陣的各行之和等于1, 該矩陣稱為隨機矩陣.</p><p>　　對馬氏鏈的直觀理解是: 已知現(xiàn)在, 將來與過去獨立. 我們把這種性質(zhì)稱為馬氏性.</p><p>　　2.4 連續(xù)時間馬爾柯夫鏈</p><p>　　定義2.4.1 設(shè)是上一小節(jié)中的馬氏鏈, 有狀態(tài)空間, 一步轉(zhuǎn)移概率</p><p><b>　　（2.4.1）

32、</b></p><p>　　滿足. 該馬氏鏈的時間指標(biāo)是離散的時間馬氏鏈.</p><p>　　定義2.4.2 設(shè)是狀態(tài)空間, 是以為狀態(tài)空間的連續(xù)時間隨機過程. 如果對任何正整數(shù), 和, 有</p><p><b>　?。?.4.2）</b></p><p>　　則稱是連續(xù)時間離散狀態(tài)的馬爾柯夫鏈, 簡稱

33、連續(xù)時間馬氏鏈.</p><p>　　定義2.4.2 中的鏈表明狀態(tài)空間是離散的, 和離散時間馬氏鏈情況相同, 我們稱具有性質(zhì)</p><p><b>　?。?.4.3)</b></p><p>　　的馬氏鏈為時齊馬氏鏈.時齊性表明轉(zhuǎn)移概率</p><p>　　(2.4.4) &l

34、t;/p><p><b>　　與起始時間無關(guān).</b></p><p>　　連續(xù)時間馬氏鏈的性質(zhì)（2.4.2）和離散時間馬氏鏈的性質(zhì)（2.4.1）在形式上相同的, 因此對離散時間馬氏鏈得到的許多結(jié)論對于現(xiàn)在的馬氏鏈仍然有效, 舉例如下: </p><p>　　對于, 已知的條件下, 將來與過去獨立.也就是說, 在概率下, 隨機過程與獨立.</

35、p><p>　　方程: 對任何, 有</p><p>　　或, (2.4.5)</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　(2.4.6)</b></p><p>　　稱為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣.</p>

36、<p>　　(3) 的概率分布由轉(zhuǎn)移概率矩陣2.3.6和的概率分布</p><p><b>　　(2.4.7)</b></p><p><b>　　唯一決定:</b></p><p>　　. (2.4.8)</p><p&g

37、t;<b>　　其中, .</b></p><p>　　3馬爾柯夫鏈關(guān)于成績預(yù)測的模型及應(yīng)用</p><p>　　3.1 馬爾柯夫鏈關(guān)于成績預(yù)測的模型</p><p>　　馬爾柯夫理論指出系統(tǒng)達到每一狀態(tài)的概率僅與近期狀態(tài)有關(guān), 在一定時期后馬爾柯夫過程逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)而與原始條件無關(guān)的這一特性稱為無后效性, 即事物的第次試驗結(jié)果僅取決于第次

38、試驗結(jié)果, 第次試驗結(jié)果僅取決于第次試驗結(jié)果, 依此類推. 這一系列轉(zhuǎn)移過程的集合叫做馬爾柯夫鏈或稱為時間和狀態(tài)均離散的馬爾柯夫過程. 對馬爾柯夫過程和馬爾柯夫鏈進行分析, 并對未來的發(fā)展進行預(yù)測稱為馬爾柯夫分析. 馬爾柯夫預(yù)測方法的特點是: 不需要大量的統(tǒng)計資料, 只需有限的近期資料即可實現(xiàn)定量預(yù)測, 而且馬爾柯夫預(yù)測方法適用于短期預(yù)測的基礎(chǔ)上, 只要狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滾動次數(shù)足夠的多, 同時也適用于長期預(yù)測, 但要求學(xué)生考核科目比較穩(wěn)定并

39、在一定時期內(nèi)沒有大的變動.</p><p>　　馬爾柯夫過程實際上是一個將系統(tǒng)的“狀態(tài)”和“狀態(tài)轉(zhuǎn)移”定量化了的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型:</p><p>　　狀態(tài): 指現(xiàn)象某一時刻上的某種狀態(tài), 是表示系統(tǒng)的最小一組變量. 當(dāng)系統(tǒng)可完全由定義狀態(tài)的變量取值來描述時, 稱系統(tǒng)處于一個狀態(tài).</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移: 指當(dāng)系統(tǒng)的描述變量從一個狀態(tài)的特定值變化到另一

40、個狀態(tài)特定值時, 就表示系統(tǒng)由一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài), 從而該系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)的轉(zhuǎn)移.</p><p>　　學(xué)生成績的變化過程可以近視看作一個馬爾柯夫鏈, 因此可以使用馬爾柯夫過程分析建立學(xué)生成績變化趨勢的馬爾柯夫預(yù)測模型. 為了簡便起見, 我們把學(xué)生成績分為幾個檔次分別如下: 85-100為優(yōu)秀, 71-84為良好, 60-70為及格, 60以下為不及格即優(yōu)、良、及格、不及格四個等級. 常見的學(xué)生成績變

41、化有進步和退步. 學(xué)生成績變化的直接示意圖3.1.</p><p>　　圖3.1班級成績變化示意圖</p><p>　　圖3.1中直觀的表達了各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律. 例如由不及格出發(fā)經(jīng)過多次轉(zhuǎn)化可到達及格、良、優(yōu)秀三種情況. 任何兩種狀態(tài)之間都可以互相轉(zhuǎn)化, 從任何一種狀態(tài)出發(fā)都可以達到其它的任何一種狀態(tài).</p><p>　　第一步, 學(xué)生在研究初期個層次的成績分布

42、, 獲得初始分布</p><p><b>　　.</b></p><p>　　假設(shè)研究初期個層次的科目數(shù)量為, 則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　第二步, 根據(jù)近期學(xué)生在個層次的學(xué)習(xí)成績變化情況, 獲得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣, 進而獲得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣.</p><

43、;p>　　假設(shè)目前第層次的學(xué)習(xí)成績等級在下一學(xué)年中將有門科目在的等級上. 于是轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣為: . 用去除矩陣N的各行元素（）即得到轉(zhuǎn)移矩陣, 其中</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　第三步, 預(yù)測未來第年成績等級的分布概率. 計算初始分布與步轉(zhuǎn)移矩陣的乘積, 即可得到未來第期的絕對分布, 即第年的成績分布率:</p>

44、<p><b>　　.</b></p><p>　　第四步, 對預(yù)測的結(jié)果進行分析, 得出相應(yīng)的結(jié)論, 為決策提供服務(wù).</p><p><b>　　3.2 模型應(yīng)用</b></p><p>　　選定預(yù)測學(xué)生對象（即論域）進行該學(xué)生的成績調(diào)查</p><p><b>　　,

45、</b></p><p>　　要研究的對象, 應(yīng)在整個學(xué)校市場區(qū)域內(nèi)并在調(diào)查期內(nèi)的班級中進行選擇. 例如某小學(xué)一個學(xué)生一到四年級的成績?nèi)缦聢D所示:</p><p>　　表3.1 某小學(xué)學(xué)生一到三年級的的數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)成績</p><p>　　應(yīng)用馬爾柯夫鏈可以定量分析班級數(shù)學(xué)成績的變化情況, 并對未來的數(shù)學(xué)成績進行預(yù)測.</p><p&g

46、t;　　根據(jù)上述圖表, 以及調(diào)查的結(jié)果判斷, 第一年優(yōu)秀的概率是0.25, 良好的概率為0.55及格的概率為0.125, 不及格的概率為0.075; 第二年優(yōu)秀的概率為0.2, 良好的概率為0.6, 及格的概率為0.1, 不及格的概率為0.1; 第三年優(yōu)秀的概率為0.3, 良好的概率為0.45, 及格的概率為0.2, 不及格的概率為0.05; 第四年優(yōu)秀的概率為0.25, 良好的概率為0.5, 及格的概率為0.2, 不及格的概率為0.0

47、5. 根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果我們可以得出各層次成績變化的轉(zhuǎn)移概率矩陣為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例如: 為預(yù)測某學(xué)生接下來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績變化, 目前優(yōu)、良、及格、不及格的等級分布分別為10人、20人、8人、2人.</p><p>　　分析該學(xué)生3年后的學(xué)習(xí)成績結(jié)構(gòu)的分布情況, 3年內(nèi)各等級學(xué)習(xí)成績的變化過程.&l

48、t;/p><p>　　設(shè)目前成績分布結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)為則一年后班級成績分布結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　即第一年后該班級的數(shù)學(xué)成績情況結(jié)構(gòu)為.</p><p>　　兩年后的班級成績結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　,</b></p>

49、<p>　　即第二年的數(shù)學(xué)成績結(jié)構(gòu)分布為:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　第三年數(shù)學(xué)成績結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　即第三年數(shù)學(xué)成績結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　.<

50、/b></p><p>　　由此可知, 如表3.2 </p><p>　　表3.2 班級成績統(tǒng)計圖表</p><p>　　三年后該班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分布結(jié)構(gòu)為優(yōu)秀9人, 良好22人, 及格5人, 不及格4人.從表3.2中可以看出第一年、第二年和第三年的數(shù)學(xué)成績結(jié)構(gòu)分布是相同的, 即該成績的結(jié)構(gòu)分布就是該班級數(shù)學(xué)成績結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分布.</p>&l

51、t;p>　　由上述應(yīng)用可知, 我們對該班級數(shù)學(xué)成績分布結(jié)構(gòu)進行了預(yù)測, 為教師提供一個可靠的參考數(shù)據(jù). 從上面的實例分析中我們不難看出, 應(yīng)用馬爾柯夫鏈可以科學(xué)的、定量的預(yù)測學(xué)生數(shù)學(xué)成績分布結(jié)構(gòu)的情況, 其數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵依賴于轉(zhuǎn)移概率矩陣的可信度. 轉(zhuǎn)移概率矩陣的準確度將直接影響對班級成績未來預(yù)測的準確性, 因此, 利用該模型時要做好基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析工作, 為學(xué)生數(shù)學(xué)成績預(yù)測提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù). 同時教師可以用該模型來預(yù)測其它

52、學(xué)科學(xué)習(xí)成績結(jié)構(gòu)分布, 如數(shù)學(xué)、語文、科學(xué)等. 雖然該模型的可以定量準確的預(yù)測班級成績結(jié)構(gòu)分布情況, 但其本身還存在一些不足在應(yīng)用的過程中存在一定的局限性, 比如在應(yīng)用的的班級需要在學(xué)生流動比較穩(wěn)定的情況之下才能更加準確，所以該模型最適合應(yīng)用過的學(xué)生人數(shù)不變的班級當(dāng)這中. 總的來說對學(xué)生成績預(yù)測具有一定的參考意義, 為教師提供了一種相對比較科學(xué)、客觀的預(yù)測方法. </p><p><b>　　4

53、小結(jié)</b></p><p>　　馬爾柯夫鏈是一種應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)模型. 本文簡述了馬爾柯夫鏈的基本理論、決策原理, 建立教育領(lǐng)域當(dāng)中的馬爾柯夫預(yù)測模型并且進行了班級成績預(yù)測方面的應(yīng)用, 總結(jié)了馬爾柯夫鏈預(yù)測方法的計算步驟. 當(dāng)我們在運用馬爾柯夫鏈方法預(yù)測的時候, 首先, 確定研究對象的系統(tǒng)狀態(tài), 其次, 得出轉(zhuǎn)移概率矩陣, 最后, 根據(jù)模型進行預(yù)測, 即根據(jù)所給資料, 利用馬爾柯夫鏈預(yù)測模型對系統(tǒng)

54、進行預(yù)測, 并對預(yù)測結(jié)果進行分析得出合理的對策. 運用的時候必須注意到一個理想的假定條件: 第一在所討論的時期內(nèi), 系統(tǒng)狀態(tài)的個數(shù)保持不變. 第二轉(zhuǎn)移概率矩陣必須保持不變. 第三狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只受到前一時刻的影響, 而與前一時刻以前的狀況是無關(guān)的. 當(dāng)這些假定條件都符合時, 則構(gòu)成一階的馬爾柯夫鏈, 我們就可以根據(jù)這一條件建立馬爾柯夫預(yù)測模型.</p><p>　　馬爾柯夫鏈的預(yù)測模型, 系統(tǒng)的各狀態(tài)經(jīng)過多次轉(zhuǎn)移后的

55、狀態(tài)概率主要取決于狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布, 而不是取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)概率分布. 因此，馬爾柯夫預(yù)測方法的準確性關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)移概率矩陣的可靠性. 所以預(yù)測模型要求準確的統(tǒng)計數(shù)據(jù), 才能保證它的預(yù)測精度, 但在實際中要得到這些資料是很困難的, 需要研究者去做大量的統(tǒng)計工作, 這是本方法的缺點所在. 為了更準確預(yù)測現(xiàn)象的未來狀態(tài), 在對現(xiàn)象當(dāng)前狀態(tài)作出判斷的基礎(chǔ)上, 大量的重點工作是對系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率的測定. </p><p>

56、　　運用馬爾柯夫鏈只能預(yù)測到一定時間后隨機變量序列處于各個區(qū)間的概率大小, 所以我們要不斷的優(yōu)化這種方法, 同時在實踐中對它進行發(fā)展和創(chuàng)新, 嘗試用它與其他的預(yù)測分析方法結(jié)合使用, 以收到更好的效果.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　姜啟源, 謝金星, 葉俊. 數(shù)學(xué)模型 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2008, 333-356.

57、</p><p>　　林元烈. 應(yīng)用隨機過程 [M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1998, 72-77; 138-150. </p><p>　　宋慶龍. 馬爾科夫鏈在市場經(jīng)濟預(yù)測中的應(yīng)用 [J]. 商業(yè)研究, 2009年2期.</p><p>　　彭志行. 馬爾可夫鏈理論及其在經(jīng)濟管理領(lǐng)域的應(yīng)用研究 [D]. 河海大學(xué), 2006. </p>&l

58、t;p>　　劉海波, 陳孝思, 秦玉. 隨機過程在災(zāi)變預(yù)測中的應(yīng)用 [J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 1996,9: 19-23. </p><p>　　陳本建. 利用馬爾可夫鏈方法預(yù)測草原蝗蟲 [J]. 草業(yè)科學(xué)1999, 2: 37-40.</p><p>　　夏樂天, 沈永梅. 加權(quán)馬爾科夫鏈在降水狀況預(yù)測中的應(yīng)用 [J]. 水利水電科技進展, 2006, 2(6): 20

59、-27. </p><p>　　張宗國. 馬爾可夫鏈預(yù)測方法及其應(yīng)用研究 [D]. 河海大學(xué), 2005 .</p><p>　　閔照翠. 基于馬爾科夫鏈的代理高信譽評估 [J]. 商場現(xiàn)代化, 2008年24期. </p><p>　　Derman C. Finite state Markovian decision processes [M]. New York