第4章水文統(tǒng)計

1、第3章水文統(tǒng)計,頻率計算，相關分析、水文過程的隨機模擬,研究對象,,頻率計算，包括隨機變量及其概率分布、水文頻率曲線、水文頻率計算。    相關分析，包括兩變量直線相關、兩變量曲線相關、復相關。 水文過程的隨機模擬,研究內容,3.1 水文統(tǒng)計的意義,3.1.1 水文現(xiàn)象的特性,(1)必然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象；水文學中稱水文現(xiàn)象的這種必然性為確定性。,水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，

2、它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。,(2)偶然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，偶然現(xiàn)象也稱隨機現(xiàn)象；偶然現(xiàn)象仍然是有規(guī)律的，一般稱為統(tǒng)計規(guī)律。,3.1.2 水文統(tǒng)計規(guī)律的研究 - 水文統(tǒng)計,數(shù)學中研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學科稱為概率論, 而由隨機現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)字特征和規(guī)律的學科稱為數(shù)理統(tǒng)計學。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學應用到水文分析與計算上則稱為水文統(tǒng)計。,3.1.3 水文統(tǒng)計的任務,水文統(tǒng)計的

3、任務就是研究和分析水文隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性。并以此為基礎對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化作出在概率意義下的定量預估，以滿足工程規(guī)劃、設計、施工以及運營期間的需要。,3.2 概率的基本概念,3.2.1 事件,在概率論中, 對隨機現(xiàn)象的觀測叫做隨機試驗, 隨機試驗的結果稱為事件。事件可以分為必然事件、不可能事件和隨機事件三種。,,3.2.3 頻率,,設事件A在n次試驗中出現(xiàn)了m次，則稱

4、 (3-2)為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率,當n趨于無窮大時，頻率無限接近概率,3.2.4 概率加法定理和乘法定理,兩個事件A、B，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率為事件B在條件A下事件B的條件概率,記為P（B︱A）:        P（B︱A）=P(AB)/P(A),(1)兩事件和的概率

5、,(2)條件概率,(3)兩事件積的概率,3.3 隨機變量及其概率分布,3.3.1 隨機變量,離散型隨機變量：只能取有限個或可列個數(shù)值的隨機變量，例如，某地一年的降雨天數(shù) 連續(xù)型隨機變量：可能取值充滿某個區(qū)間，例如，年最高水位 一般而言,用英文大寫字母代表隨機變量,其取值用相應的小寫字母,若隨機事件的試驗結果可用一個數(shù)x來表示,x隨試驗結果的不同而取得不同的數(shù)值，它是帶有隨機性的，則將這種隨機試驗結果x稱為隨機變量。隨機變量可

6、分為兩類：即離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。,3.3.2 隨機變量的概率分布,隨機變量可以取所有可能值中的任何一個值，但是取某一可能值的機會是不同的，有的機會大，有的機會小，隨機變量的取值與其概率有一定的對應關系。一般將這種對應關系稱為概率分布,,離散型隨機變量的概率分布一般以分布列表示,如表3-1,(1)離散型隨機變量的概率分布,表3-1離散型隨機變量及其概率分布,,(2)連續(xù)型隨機變量的概率分布,對于連續(xù)型隨機變量，無法研究個別值的

7、概率，只能研究某個區(qū)間的概率；或是研究事件X≥x的概率，以及事件X ≤x 的概率，二者可以相互轉換，水文統(tǒng)計中常用X≥x 的概率及其分布。,,連續(xù)型隨機變量的概率分布,隨機變量X落在區(qū)間dx上的概率,---- 分布函數(shù),設事件X≥x 的概率用P（X≥x）來表示，它是隨隨機變量取值x而變化的，所以p（X≥x）是x的函數(shù)，稱為隨機變量x的分布函數(shù)，記為F（x），即:      

8、    F(x)=P(X≥x)     （3－3）    它代表隨機變量X大于等于某一取值x的概率。其幾何圖形如圖3-4所示， 圖中縱坐標表示變量x，橫坐標表示概率分布函數(shù)值F(x)，在數(shù)學上稱此曲線為分布曲線，水文統(tǒng)計中稱為隨機變量的累積頻率曲線，簡稱頻率曲線。,,P(X≥ x),F(700)=P(X ≥700)=0.

9、9,F(1000)=P(X ≥700)=0.15,P(1000>X ≥700)=0.75,---- 分布密度,,密度函數(shù)的幾何曲線稱密度曲線。水文中習慣以縱坐標表示變量x ,橫坐標表示概率密度函數(shù)值f(x) ，如圖4-5所示。    實際上，分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分與積分的關系。,,圖3-5 隨機變量的概率密度函數(shù),---- 不及制累積概率,當研究事件X ≤x 的概率時，數(shù)理統(tǒng)計學中常用分布函數(shù)G

10、（x）表示：,G(x)=P(X<x) (4-4),稱不及制累積概率形式，相應的水文統(tǒng)計用的分布函數(shù)F（x）稱為超過制累積概率形式，兩者之間有如下關系：,F(x)=1-G(x) (4-5),3.3.3 隨機變量的分布參數(shù),3.3.3.1位置特征參數(shù),（1）均值    均值表示系列中變量的平均情況。設某水文變量的觀測系列（樣本）為x1，x2，…… ,xn ， 則其

11、均值為：,(3-6),(2)數(shù)學期望,數(shù)學期望是算術平均的推廣,（3-8）,設連續(xù)型隨機變量ξ的概率密度為f(x),若 絕對收斂，則定義ξ的數(shù)學期望,(3)中位數(shù) ----離散型隨機變量:將隨機變量所有的可能取值按大小次序排列,位置居中的數(shù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))就是中位數(shù)----連續(xù)性隨機變量:中位數(shù)將概率密度曲線下的面積劃分為相等的兩個部分,(3)眾數(shù)----離散型隨機變量：使概

12、率P(X=xi)最大的xi----連續(xù)型隨機變量：使密度函數(shù)f(x)最大的x,3.3.3.2 離散特征參數(shù),（1）方差和標準差（均方差）,設ξ為隨機變量，若E(ξ-E ξ)2存在，則定義ξ的方差D ξ為： D ξ= E(ξ-E ξ)2 (4-9),----方差,,----標準差（均方差）,稱為ξ的標準差或均方差，記為

13、亦即,(2)離勢系數(shù)(離差系數(shù)、變差系數(shù)),,離勢系數(shù)越大，離散程度越大；離勢系數(shù)越小，離散程度越小 離勢系數(shù)對密度曲線的影響,（4）偏態(tài)系數(shù),圖4-6 Cs對密度曲線的影響,a、 CS =0,分布對稱b 、CS >0，正高差占優(yōu)勢(分布的均值大于眾數(shù)) ，分布正偏或右偏c 、CS <0，負高差占優(yōu)勢(分布的均值小于眾數(shù)) ，分布負偏或左偏,3.3.3.3 矩(動差),(1)原點矩,(1)當k=0時,（2）

14、當k=1時,(2)中心矩,(1)當k=0時,（2）當k=1時,（3）當k=2時,3.3.4幾種常用的概率分布曲線,3.3.4.1 正態(tài)分布,,,(2)頻率格紙,正態(tài)頻率曲線在普通格紙上是一條規(guī)則的S形曲線，它在P=50%前后的曲線方向雖然相反，但形狀完全一樣，如圖3-7中的①線。水文計算中常用的一種"頻率格紙"，其橫坐標的分劃就是按把標準正態(tài)頻率曲線拉成一條直線的原理計算出來的，如圖3-7中的②線。,,,圖3-7 頻

15、率格紙橫坐標的分劃,3.3.4.1 皮爾遜Ⅲ 型分布,,如果3個參數(shù)確定后，該密度函數(shù)即隨之確定。,3.4 經(jīng)驗頻率曲線,通常把由實測資料（樣本）所繪制的頻率曲線稱為經(jīng)驗頻率曲線。    設水文要素的隨機變量（樣本系列）X1、X2、… Xn 共有n項，按從大到小的順序排列，則大于或等于Xn的數(shù)值有 m 次，其頻率為m/n。經(jīng)驗頻率可按下式計算,(4-20),3.4.1經(jīng)驗頻率曲線的繪制,根據(jù)實測

16、水文資料，按從大到小的順序排列，如圖4-8所示，然后用經(jīng)驗頻率公式計算系列中各項的頻率，稱為經(jīng)驗頻率。以水文變量x為縱坐標，以經(jīng)驗頻率為橫坐標，點繪經(jīng)驗頻率點據(jù)，根據(jù)點群趨勢繪出一條平滑的曲線，稱為經(jīng)驗頻率曲線，圖3-9為某站年最大洪峰流量經(jīng)驗頻率曲線。有了經(jīng)驗頻率曲線，即可在曲線上求得指定頻率的水文變量值。,,圖3-8 水文系列按大小排列示意圖,,,圖3-9某站年最大流量經(jīng)驗頻率曲線,3.4.2經(jīng)驗頻率公式與重現(xiàn)期,3.4.2.1經(jīng)

17、驗頻率公式,（1）經(jīng)驗頻率公式 對經(jīng)驗頻率的計算，目前我國水文計算上廣泛采用的是數(shù)學期望公式 :,式中： p ----等于和大于xm的經(jīng)驗頻率；        m ----xm的序號，即等于和大于xm的項數(shù)；         n ----系列的

18、總項數(shù)。,(4-21),,表3-2 某樞紐壩址年最大洪峰流量頻率計算表,,表3-2 某樞紐壩址年最大洪峰流量頻率計算表,（2）經(jīng)驗頻率曲線存在的問題,經(jīng)驗頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便，但受實測資料所限,往往難以滿足設計上的需要。為此，提出用理論頻率曲線來配合經(jīng)驗點據(jù)，這就是水文頻率計算適線（配線）法,3.4.2.2 重現(xiàn)期,頻率曲線繪制后，就可在頻率曲線上求出指定頻率p的設計值xp。由于"頻率"較

19、為抽象，水文上常用"重現(xiàn)期"來代替"頻率"。所謂重現(xiàn)期是指某隨機變量的取值在長時期內平均多少年出現(xiàn)一次，又稱多少年一遇。,根據(jù)研究問題的性質不同，頻率P與重現(xiàn)期T的關系有兩種表示方法：,（1）當研究暴雨洪水時,式中：T----重現(xiàn)期，a P----頻率，%,例如，當洪水的頻率P=1%時，代入上式得T=100a,意指等于或大于此洪水的機遇為百年一遇,(4-22),(2)當研究

20、枯水問題時，采用,式中：T----重現(xiàn)期，a; P----頻率，%,例如，對于P=80%的枯水流量，代入上式得T=5a，意指小于此流量的機遇為5年一遇的枯水流量,(4-23),3.5 水文隨機變量概率分布的估算,3.5.1 皮爾遜Ⅲ型頻率曲線及其繪制,從現(xiàn)在掌握的資料來看，皮爾遜Ⅲ 型比較復合水文隨機變量的分布,水文計算中，一般需要求出指定頻率P所相應的隨機變量取值xp，即:,求出等于及大于xp的累積頻率P值

21、。 直接由式（4-24）計算P值非常麻煩，實際做法是通過變量轉換，變換成下面的積分形式,（4-24）,,查給定Cs的對應于P的Φp值,算出xp值,因此，已知 、 、Cs就可求出各種P值相應的xp值，也就可以繪制皮爾遜Ⅲ 型概率分布曲線,3.5.2統(tǒng)計參數(shù)的估算,目前，由樣本估計總體參數(shù)的方法主要有矩法、三點法、權函數(shù)法等。,矩法是用樣本矩估計總體矩，并通過矩和參數(shù)之間的關系，來估計頻率曲線參數(shù)的一種方法,(1)矩法,

22、----樣本平均數(shù)：,----樣本標準差S,----樣本離勢系數(shù),式中：ki稱為模比系數(shù),----樣本偏態(tài)系數(shù),水文計算上習慣稱上述公式為無偏估值公式，并用它們估算總體參數(shù)，作為配線法的參考數(shù)值,（2）抽樣誤差,用一個樣本的統(tǒng)計參數(shù)來代替總體的統(tǒng)計參數(shù)是存在一定誤差的，這種誤差是由于從總體中隨機抽取的樣本與總體有差異而引起的，稱為抽樣誤差,抽樣誤差的大小由均方誤差來衡量。計算均方誤差的公式與總體分布有關。對于皮爾遜Ⅲ型分布且用矩法估算參

23、數(shù)時，用　　、 、 、 分別代表 、S 、Cv和Cs樣本參數(shù)的均方誤差，則它們的計算公式為,由上述公式可見,抽樣誤差的大小，隨樣本項數(shù)n、cv和cs的大小而變化。樣本容量大，對總體的代表性就好，其抽樣誤差就小，這就是為什么在水文計算中總是想方設法取得較長的水文系列的原因。,3.5.3 適線法,目估適線法又稱目估配線法，是以經(jīng)驗頻率點據(jù)為基礎，給它們選配一條符合較好的理論頻率曲線，并以此來估計水文要素總體的統(tǒng)計規(guī)律。具體步

24、驟如下：,---- 點繪經(jīng)驗頻率點據(jù) 將實測資料由大到小排列，計算各項的經(jīng)驗頻率，在頻率格紙上點繪經(jīng)驗點據(jù)（縱坐標為變量的取值，橫坐標為對應的經(jīng)驗頻率）,---- 選定水文頻率分布線型 一般選用皮爾遜Ⅲ型,---- 據(jù)初定值cv和cs進行試配 根據(jù)初定的Cv和Cs ，查模比系數(shù)Kp值，可得皮爾遜Ⅲ型的理論頻率曲線Kp-P，將此曲線畫在繪有經(jīng)驗點據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗點據(jù)配合的情況 。若不理想，可通過

25、調整 Cv和Cs點繪頻率曲線。,---- 選定采用曲線　　 最后根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗點據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗點據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線，相應于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。,---- 初定參數(shù) 先采用矩法或其它方法估計出頻率曲線參數(shù)的初估值 Cv，而Cs憑經(jīng)驗初選為Cv的倍數(shù)。,表3－５某站年最大流量經(jīng)驗頻率計算,４－５,表3－５某站年最大流量經(jīng)驗頻率計算,表3－５某站年最大流量經(jīng)驗頻率計算,表3

26、－５某站年最大流量經(jīng)驗頻率計算,表3－５某站年最大流量經(jīng)驗頻率計算,3.6 相關分析,（２）相關的種類 關系的密切程度，變量之間的關系有三種情況：即完全相關、零相關、統(tǒng)計相關。,3.6.1 概述,（１）相關分析 自然界中有許多現(xiàn)象之間是有一定聯(lián)系的。按數(shù)理統(tǒng)計法建立上述兩個或多個隨機變量之間的聯(lián)系，稱之為近似關系或相關關系。把對這種關系的分析和建立稱為相關分析。,---- 零相關（沒有關系） 

27、0;  兩變量之間毫無聯(lián)系，或某一現(xiàn)象（變量）的變化不影響另一現(xiàn)象（變量）的變化，這種關系則稱為零相關或沒有關系，,---- 完全相關（函數(shù)關系）    兩變量x與y之間，如果每給定一個x 值，就有一個完全確定的y值與之對應，則這兩個變量之間的關系就是完全相關（或稱函數(shù)相關）。完全相關的形式有直線關系和曲線關系兩種，,完全相關示意圖,---- 相關關系   

28、60; 若兩個變量之間的關系界于完全相關和零相關之間，則稱為相關關系或統(tǒng)計相關。當只研究兩個變量的相關關系時，稱為簡相關；當研究3個或3個以上變量的相關關系時，則稱為復相關。在相關的形式上，又可分為直線相關和非直線相關，,相關關系示意圖,（4）相關分析與回歸分析的關系,1）研究變量的性質來說： 回歸分析：因變量是隨機的，而自變量通常是非隨機變量 相關分析：全是隨機變量2）研究任務來說： 回歸分析：

29、確定因變量與自變量之間的關系 相關分析：研究隨機變量間關系密切的程度，檢驗其間的相關系數(shù)是否為零或為某值3）研究變量間關系的性質來說： 回歸分析：處理的是變量間的單向的依賴關系，既根據(jù)自變量來確定因變量的關系 相關分析：處理的是變量間的相依關系,3）根據(jù)自變量的值，預報或延長、插補因變量的值，并對 該估值進行誤差分析。,（３）相關分析的內容,1）判定變量間是否存在相關關系，若存在，計算其相關系數(shù)

30、，以判斷相關的密切程度；,2）確定變量間的數(shù)量關系――回歸方程或相關線；,3.4.2 簡單相關,----相關圖解法    設xi 和yi 代表兩系列的觀測值，共有n 對，把對應值點繪于方格紙上，得到很多相關點。如果相關點的平均趨勢近似直線，即可通過點群中間及( , ）點繪出相關直線,(1)相關方法,１．簡直線相關,為避免相關圖解法在定線上的任意性，常采用相關計算法來確定相關線的方程，即回歸方程。簡直

31、線相關方程的形式為:              y = a + bx             式中 　x  ―― 自變量；    &#

32、160;  y  ―― 倚變量；       a、b ― 待定常數(shù)。 待定常數(shù)a、b 通過最小二乘進行估計。最后得到如下形式的回歸方程：,----相關計算法,式中: 　、 ----x、y系列的均方差　　　　　----相關系數(shù),表示 x 、 y兩系列的密切程度,式中r為簡單相關系數(shù),其值介于-1~1之間,r的絕對

33、值越大，表示相關愈密切,r的絕對值為1時，即完全相關；r為零時，即零相關。在水文計算中一般要求有十年以上相關資料，且r的絕對值在0.8以上（n不小于12），才能通過相關分析插補延長短期系列的資料,若以y 求x ，則要應用x 倚y 的回歸方程 , x 倚y 的回歸方程為,(2)相關分析的誤差,回歸線僅是觀測點據(jù)的最佳配合線，通常觀測點據(jù)并不完全落在回歸線上，而是散布于回歸線的兩旁。    因此，回歸線只反映

34、兩變量間的平均關系。按此關系推求的和實際值之間存在著誤差，誤差大小一般采用均方誤來表示。,如用Sy表示y倚x回歸線的均方誤，yi為觀測值， 為回歸線上的對應值，n為系列項數(shù)，則,---- 回歸線的誤差,水文上要求：Sy不大于y的均值的15%,,在相關分析中，相關系數(shù)是根據(jù)有限的實測資料（樣本）計算出來的，必然會有抽樣誤差。一般通過相關系數(shù)的均方誤來判斷樣本相關系數(shù)的可靠性，按統(tǒng)計學原理，相關系數(shù)的均方誤為,---- 相關系數(shù)誤差,２．

35、曲線相關,許多水文現(xiàn)象間的關系，并不表現(xiàn)為直線關系而具有曲線相關的形式。水文上常采用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)兩種曲線，基本作法是將其轉換為直線，再進行直線回歸分析。,冪函數(shù)的一般形式為            y = axb          &

36、#160;   兩邊取對數(shù) ln y =ln a + b ln x    令  Y = ln y, A = ln a, X = ln x    則有    Y = A + b X          對X和Y而言就是直線關系，

37、可對其作直線回歸分析。。,（１）冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)的一般形式為            y =aebx            兩邊取對數(shù)     log y = log a +bx lo

38、g e    令  Y = log y ,A = log a, B = blog e, X= x    則有   Y = A + B X       這樣對X和Y同樣也可作直線相關分析,（２）指數(shù)函數(shù),3.4.3 復相關,可以根據(jù)實測點繪出z與x的對應值于方格紙上，并在點旁注明y值，然后做出y

39、值相等的“y等值線”。這樣點繪出來的圖，就是復相關關系圖。     它與簡相關圖的區(qū)別就在于多了一個自變量，即z值不單是倚x而變，同時還倚y而變。因此，在使用復相關圖插補（延長）z 值時，應先在x 軸上找出xi 值，并向上引垂線至相應的yi值，然后便可查得zi值。,（１）圖解法,復相關的計算，在工程上采用圖解法選配相關線。    　在右圖中，倚變量z

40、受自變量x 和y 兩變量的影響。,復相關計算除用圖解法以外，還可用分析法，但非常繁雜。分析法主要用于復直線相關分析（或稱復直線回歸分析、多元線性回歸分析）。有關多個自變量的復直線回歸分析，其原理與前面介紹的簡直線（一元）回歸分析大致相同，所不同的是回歸直線方程中系數(shù)（回歸系數(shù)）的確定需要求解更為復雜的線性代數(shù)方程組。          

41、0;            式中b0 為待定常數(shù)（有時b0=0 ）；b1 、b2 分別稱為y 對x1 、x2 的回歸系數(shù)；x1 、x2 為自變量；Y為倚變量。,（２）分析法,總平方和Lyy=殘差平方和Q＋回歸平方和U,其中：,R復稱為復相關系數(shù)，是衡量回歸效果好壞的一個指標,,,當X與Y具有因果關系時

42、，我們常把由于X的變動影響Y的變動的程度，說成是由X這一因素解釋Y的變動時能解釋多少；即，Y的總變差中能被X解釋的那部分所占的比率，所占的比率愈大，說明X與Y相關的程度愈緊密。,1.我們選配P—Ⅲ曲線，是因為 [___] a. P—Ⅲ曲線已從理論上得到證明，它符合水文規(guī)律； b. P—Ⅲ曲線能與我國大多數(shù)水文現(xiàn)象配合較好； c. P—Ⅲ曲線有Φ值表可查，使用方便； d. P—Ⅲ曲

43、線參數(shù)多，彈性大，適應性強。,2.相關系數(shù)r的取值范圍是[____]。        a、r﹥0；      b、r﹤0；         c、r = -1~1；  d、r = 0 ~1。 3.相關分析在水文分析計算中主要用

44、于[ ]。        a、推求設計值；   b、推求頻率曲線；         c、計算相關系數(shù)； d、插補、延長水文系列。,一.選擇題,4.用配線法進行頻率計算時，判斷配線是否良好所遵循的原則是     

45、   a、抽樣誤差最小的原則；    b、統(tǒng)計參數(shù)誤差最小的原則        c、理論頻率曲線與經(jīng)驗頻率點據(jù)配合最好的原則；        d、設計值偏于安全的原則。,１．相關系數(shù)是表示兩變量相關程度的一個量，若　　r = －0﹒95，說明兩

46、變量沒有關系 ２．相關系數(shù)也存在著抽樣誤差。３．y倚x的回歸方程與x倚y的回歸方程，兩者的相關系數(shù)總是相等的。 ４．y倚x的回歸方程與x倚y的回歸方程，兩者的回歸系數(shù)總是相等的 ５．水文頻率計算中配線時，增大Cv可以使頻率曲線變陡６．給經(jīng)驗頻率點據(jù)選配一條理論頻率曲線，目的之一是便于頻率曲線的外延 7.已知y倚x的回歸方程為 y = Ax + B，則可直接導出x倚y的回歸方程為,二．判斷題,某水文變量的均值為100，CV=0